Номер 7, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 7, страница 101.

Условие.

7. Что называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел, если он существует и конечен, характеризует скорость изменения функции в данной точке.

Формальное определение

Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$. Дадим аргументу $x$ приращение $\Delta x$ (такое, что точка $x_0 + \Delta x$ не выходит за пределы окрестности). Функция при этом получит приращение $\Delta y$, которое вычисляется как:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
Отношение приращения функции к приращению аргумента равно $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.
Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$, обозначаемая как $f'(x_0)$ или $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$, определяется как предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
Функция называется дифференцируемой в точке $x_0$, если этот предел существует и является конечным числом.

Существует также эквивалентная форма записи определения производной. Если положить $x = x_0 + \Delta x$, то $\Delta x = x - x_0$. Когда $\Delta x \to 0$, то $x \to x_0$. Тогда определение производной можно записать в виде:
$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

Геометрический смысл производной

Геометрически производная $f'(x_0)$ равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.
Если $k$ - это угловой коэффициент касательной, то $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$, где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси Ox.
Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Физический (механический) смысл производной

Физически производная описывает скорость протекания процесса. Если $s(t)$ — закон прямолинейного движения материальной точки (зависимость пути от времени $t$), то производная $s'(t_0)$ представляет собой мгновенную скорость этой точки в момент времени $t_0$.
В общем случае, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это скорость изменения функции $f(x)$ в этой точке.

Ответ: Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю. Математически это записывается как: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.