Номер 6, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 6, страница 101.

Условие.

6. Что называется мгновенной скоростью?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Мгновенная скорость – это фундаментальное понятие в кинематике, которое описывает движение тела в каждый конкретный момент времени или в каждой конкретной точке его траектории. В отличие от средней скорости, которая характеризует движение в целом на некотором отрезке пути или за определенный промежуток времени, мгновенная скорость показывает, насколько быстро и в каком направлении движется тело «прямо сейчас».

Чтобы понять, как определяется мгновенная скорость, представим себе неравномерное движение, например, поездку на автомобиле по городу. Скорость автомобиля постоянно меняется. Если мы хотим узнать скорость в какой-то определенный момент, мы не можем просто поделить весь пройденный путь на все время в пути – это даст нам среднюю скорость.

Вместо этого мы рассматриваем очень маленький, практически нулевой промежуток времени $ \Delta t $. За это время тело совершает очень маленькое перемещение $ \Delta \vec{r} $. Средняя скорость на этом крошечном участке будет равна: $ \vec{v}_{ср} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $

Чтобы получить скорость именно в данный момент времени $ t $, мы должны устремить этот промежуток времени $ \Delta t $ к нулю. В результате такого предельного перехода средняя скорость на бесконечно малом участке и будет являться мгновенной скоростью $ \vec{v} $ в точке, соответствующей моменту времени $ t $.

Математически мгновенная скорость определяется как предел отношения перемещения к промежутку времени, когда последний стремится к нулю: $ \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $

В математическом анализе такой предел называется производной. Таким образом, мгновенная скорость – это первая производная от радиус-вектора $ \vec{r} $ (который определяет положение тела) по времени $ t $: $ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \vec{r}'(t) $

Важно помнить, что мгновенная скорость является векторной величиной. Это означает, что она имеет:

• Модуль (величину), который показывает, насколько быстро движется тело. Именно эту величину показывает спидометр автомобиля. Ее часто называют просто "скоростью".
• Направление, которое всегда совпадает с направлением движения в данный момент и направлено по касательной к траектории движения в данной точке.

Таким образом, мгновенная скорость дает полную характеристику движения тела в любой момент времени.

Ответ: Мгновенной скоростью называется векторная физическая величина, характеризующая скорость движения материальной точки в данный момент времени и в данной точке траектории. Она определяется как предел отношения перемещения $ \Delta \vec{r} $ к промежутку времени $ \Delta t $, за который это перемещение произошло, при условии, что промежуток времени стремится к нулю ($ \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $). Иными словами, мгновенная скорость – это первая производная радиус-вектора по времени.