Номер 2, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 2, страница 101.

Условие.

2. Какая последовательность называется сходящейся?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Сходящейся называется числовая последовательность, члены которой по мере возрастания их номера неограниченно приближаются к некоторому определённому числу. Это число называется пределом последовательности. Если последовательность не имеет конечного предела, она называется расходящейся.

Существует строгое математическое определение сходящейся последовательности, известное как определение на языке «эпсилон-дельта» или определение Коши.

Формальное определение:
Числовая последовательность $\{x_n\}$ (где $n=1, 2, 3, \dots$) называется сходящейся, если существует такое число $a$, что для любого, сколь угодно малого, заранее заданного положительного числа $\epsilon > 0$ (эпсилон) можно найти такой номер $N$ (зависящий от $\epsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство:
$|x_n - a| < \epsilon$

Число $a$ в этом определении является пределом последовательности $\{x_n\}$. Факт сходимости последовательности $x_n$ к пределу $a$ записывается следующим образом:
$\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

Геометрическая интерпретация:
Неравенство $|x_n - a| < \epsilon$ эквивалентно двойному неравенству $a - \epsilon < x_n < a + \epsilon$. Интервал $(a - \epsilon, a + \epsilon)$ называется $\epsilon$-окрестностью точки $a$. Таким образом, определение сходимости означает, что для любой, даже самой маленькой, окрестности точки $a$ найдётся такой номер $N$, что все члены последовательности, начиная с номера $N+1$, будут находиться внутри этой окрестности. Другими словами, вне любой окрестности предела может лежать лишь конечное число членов последовательности.

Пример сходящейся последовательности:
Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$ является сходящейся. Её члены $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{100}, \dots$ с ростом $n$ становятся всё ближе и ближе к нулю. Пределом этой последовательности является число $0$.

Примеры расходящихся последовательностей:
1. $x_n = n^2$: $1, 4, 9, 16, \dots$ — члены последовательности неограниченно возрастают (стремятся к $+\infty$).
2. $x_n = (-1)^n$: $-1, 1, -1, 1, \dots$ — члены последовательности колеблются между двумя значениями и не приближаются ни к какому конкретному числу.

Ответ: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. Это означает, что существует такое число $a$ (предел), что для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ можно указать такой номер $N$, что все члены последовательности с номерами, большими чем $N$, будут находиться от $a$ на расстоянии, меньшем чем $\epsilon$. Математически это записывается как: $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n > N: |x_n - a| < \epsilon$.