Номер 2, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 2, страница 101.
№2 (с. 101)
Условие. №2 (с. 101)
скриншот условия

2. Какая последовательность называется сходящейся?
Решение 1. №2 (с. 101)

Решение 2. №2 (с. 101)

Решение 3. №2 (с. 101)
Сходящейся называется числовая последовательность, члены которой по мере возрастания их номера неограниченно приближаются к некоторому определённому числу. Это число называется пределом последовательности. Если последовательность не имеет конечного предела, она называется расходящейся.
Существует строгое математическое определение сходящейся последовательности, известное как определение на языке «эпсилон-дельта» или определение Коши.
Формальное определение:
Числовая последовательность $\{x_n\}$ (где $n=1, 2, 3, \dots$) называется сходящейся, если существует такое число $a$, что для любого, сколь угодно малого, заранее заданного положительного числа $\epsilon > 0$ (эпсилон) можно найти такой номер $N$ (зависящий от $\epsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство:
$|x_n - a| < \epsilon$
Число $a$ в этом определении является пределом последовательности $\{x_n\}$. Факт сходимости последовательности $x_n$ к пределу $a$ записывается следующим образом:
$\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.
Геометрическая интерпретация:
Неравенство $|x_n - a| < \epsilon$ эквивалентно двойному неравенству $a - \epsilon < x_n < a + \epsilon$. Интервал $(a - \epsilon, a + \epsilon)$ называется $\epsilon$-окрестностью точки $a$. Таким образом, определение сходимости означает, что для любой, даже самой маленькой, окрестности точки $a$ найдётся такой номер $N$, что все члены последовательности, начиная с номера $N+1$, будут находиться внутри этой окрестности. Другими словами, вне любой окрестности предела может лежать лишь конечное число членов последовательности.
Пример сходящейся последовательности:
Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$ является сходящейся. Её члены $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{100}, \dots$ с ростом $n$ становятся всё ближе и ближе к нулю. Пределом этой последовательности является число $0$.
Примеры расходящихся последовательностей:
1. $x_n = n^2$: $1, 4, 9, 16, \dots$ — члены последовательности неограниченно возрастают (стремятся к $+\infty$).
2. $x_n = (-1)^n$: $-1, 1, -1, 1, \dots$ — члены последовательности колеблются между двумя значениями и не приближаются ни к какому конкретному числу.
Ответ: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. Это означает, что существует такое число $a$ (предел), что для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ можно указать такой номер $N$, что все члены последовательности с номерами, большими чем $N$, будут находиться от $a$ на расстоянии, меньшем чем $\epsilon$. Математически это записывается как: $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n > N: |x_n - a| < \epsilon$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 101 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 101), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.