Номер 245, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 245, страница 99.

Условие.

245. Закон движения тела задан формулой $s(t) = 0,5t^2 + 3t + 2$ (s — в метрах, t — в секундах). Какой путь пройдёт тело за 4 с? Какова скорость движения в этот момент времени?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Какой путь пройдёт тело за 4 с?

Закон движения тела задан формулой $s(t) = 0.5t^2 + 3t + 2$, где $s$ — это координата в метрах, а $t$ — время в секундах. Путь, пройденный телом за промежуток времени, — это разность между его конечной и начальной координатой, при условии, что тело движется в одном направлении.

Сначала найдем начальное положение тела в момент времени $t=0$ с:

$s(0) = 0.5 \cdot (0)^2 + 3 \cdot (0) + 2 = 2$ м.

Затем найдем положение тела в момент времени $t=4$ с:

$s(4) = 0.5 \cdot (4)^2 + 3 \cdot (4) + 2 = 0.5 \cdot 16 + 12 + 2 = 8 + 12 + 2 = 22$ м.

Чтобы убедиться, что тело двигалось в одном направлении, найдем его скорость. Скорость $v(t)$ является производной от координаты $s(t)$ по времени $t$: $v(t) = s'(t) = (0.5t^2 + 3t + 2)' = t+3$. Так как время $t \ge 0$, скорость $v(t)$ всегда положительна, следовательно, тело движется в одном направлении.

Пройденный путь равен разности конечной и начальной координат:

Путь $S = s(4) - s(0) = 22 \text{ м} - 2 \text{ м} = 20$ м.

Ответ: за 4 с тело пройдёт путь 20 м.

Какова скорость движения в этот момент времени?

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от функции координаты $s(t)$ по времени $t$. Это физический смысл производной.

Найдем функцию скорости, взяв производную от $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (0.5t^2 + 3t + 2)' = 0.5 \cdot 2t + 3 = t + 3$.

Чтобы найти скорость в конкретный момент времени, то есть при $t=4$ с, подставим это значение в полученную формулу для скорости:

$v(4) = 4 + 3 = 7$ м/с.

Ответ: скорость движения в этот момент времени составляет 7 м/с.