Номер 231, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 231, страница 97.

Условие.

231. Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке — общую касательную; написать уравнение этой касательной:

1) $y = x^4, y = x^6 + 2x^2$

2) $y = x^4, y = x^3 - 3x^2$

3) $y = (x + 2)^2, y = 2 - x^2$

4) $y = x(2 + x), y = x(2 - x)$

5) $y = \sqrt{x+1}, y = x^2 + \frac{1}{3}x + 1$

6) $y = \sqrt{x+1}, y = 2 - \sqrt{1-x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = x^4, y = x^6 + 2x^2$

Обозначим функции $f(x) = x^4$ и $g(x) = x^6 + 2x^2$.

1. Поиск общей точки.
Чтобы найти общие точки, приравняем выражения для $y$:
$x^4 = x^6 + 2x^2$
$x^6 - x^4 + 2x^2 = 0$
Вынесем $x^2$ за скобки:
$x^2(x^4 - x^2 + 2) = 0$
Одно из решений — $x_0 = 0$. Рассмотрим уравнение в скобках: $x^4 - x^2 + 2 = 0$. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):
$t^2 - t + 2 = 0$
Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней для $t$ нет. Следовательно, существует только одна точка пересечения с абсциссой $x_0 = 0$.
Найдем ординату этой точки: $y_0 = f(0) = 0^4 = 0$. Таким образом, графики имеют одну общую точку $(0, 0)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные функций:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$
$g'(x) = (x^6 + 2x^2)' = 6x^5 + 4x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$
$g'(0) = 6 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0 = 0$
Так как $f'(0) = g'(0)$, угловые коэффициенты касательных в точке $(0, 0)$ равны, а значит, касательная является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 0)$ и $f'(0) = 0$:
$y - 0 = 0(x - 0)$
$y = 0$

Ответ: $y = 0$.

2) $y = x^4, y = x^3 - 3x^2$

Обозначим функции $f(x) = x^4$ и $g(x) = x^3 - 3x^2$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$x^4 = x^3 - 3x^2$
$x^4 - x^3 + 3x^2 = 0$
$x^2(x^2 - x + 3) = 0$
Одно из решений — $x_0 = 0$. Уравнение $x^2 - x + 3 = 0$ имеет дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0$, поэтому других действительных корней нет. Единственная общая точка имеет абсциссу $x_0 = 0$.
Ордината: $y_0 = f(0) = 0^4 = 0$. Общая точка — $(0, 0)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$
$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$
$g'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательная в точке $(0, 0)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 0)$ и $f'(0) = 0$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 0 = 0(x - 0)$
$y = 0$

Ответ: $y = 0$.

3) $y = (x+2)^2, y = 2 - x^2$

Обозначим функции $f(x) = (x+2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$(x+2)^2 = 2 - x^2$
$x^2 + 4x + 4 = 2 - x^2$
$2x^2 + 4x + 2 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x+1)^2 = 0$
Единственное решение — $x_0 = -1$. Найдем ординату: $y_0 = f(-1) = (-1+2)^2 = 1$. Общая точка — $(-1, 1)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = ((x+2)^2)' = 2(x+2)$
$g'(x) = (2 - x^2)' = -2x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = 2(-1+2) = 2$
$g'(-1) = -2(-1) = 2$
Так как $f'(-1) = g'(-1)$, касательная в точке $(-1, 1)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (-1, 1)$ и $f'(-1) = 2$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 1 = 2(x - (-1))$
$y - 1 = 2x + 2$
$y = 2x + 3$

Ответ: $y = 2x + 3$.

4) $y = x(2+x), y = x(2-x)$

Обозначим функции $f(x) = x(2+x) = 2x + x^2$ и $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$2x + x^2 = 2x - x^2$
$2x^2 = 0$
Единственное решение — $x_0 = 0$.
Найдем ординату: $y_0 = f(0) = 0(2+0) = 0$. Общая точка — $(0, 0)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = (2x + x^2)' = 2 + 2x$
$g'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2 + 2 \cdot 0 = 2$
$g'(0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательная в точке $(0, 0)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 0)$ и $f'(0) = 2$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 0 = 2(x - 0)$
$y = 2x$

Ответ: $y = 2x$.

5) $y = \sqrt{x+1}, y = x^2 + \frac{1}{3}x + 1$

Примечание: В условии задачи для функции $y = x^2 + \frac{1}{3}x + 1$, по-видимому, допущена опечатка. При данных коэффициентах у графиков есть две точки пересечения (одна из них $x=0$), но ни в одной из них нет общей касательной. Кроме того, поиск точки касания приводит к решению уравнений, не имеющих простых рациональных корней. Наиболее вероятная исправленная версия второй функции, для которой условия задачи выполняются: $y = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + 1$. Ниже приведено решение для этого исправленного условия.

Обозначим функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + 1$.

1. Поиск точки касания.
Для существования общей касательной в точке $x_0$ необходимо равенство производных: $f'(x_0) = g'(x_0)$.
Найдем производные:
$f'(x) = (\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
$g'(x) = (\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + 1)' = \frac{2x}{4} + \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$
Приравняем производные:
$\frac{1}{2\sqrt{x_0+1}} = \frac{x_0}{2} + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{x_0+1}} = x_0 + 1$
Пусть $u = \sqrt{x_0+1}$, тогда $u^2 = x_0+1$. Уравнение принимает вид: $\frac{1}{u} = u^2$, откуда $u^3 = 1$, что дает единственное действительное решение $u=1$.
Следовательно, $\sqrt{x_0+1} = 1 \implies x_0+1=1 \implies x_0=0$.

2. Проверка, является ли точка касания общей точкой.
Теперь проверим, совпадают ли значения функций в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sqrt{0+1} = 1$
$g(0) = \frac{0^2}{4} + \frac{0}{2} + 1 = 1$
Так как $f(0)=g(0)=1$, точка $(0,1)$ является общей точкой касания. Можно также показать, что это единственная общая точка.

3. Уравнение общей касательной.
Угловой коэффициент $k = f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = \frac{1}{2}$.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 1)$ и $k = 1/2$ в уравнение $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 0)$
$y = \frac{1}{2}x + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

6) $y = \sqrt{x+1}, y = 2 - \sqrt{1-x}$

Обозначим функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = 2 - \sqrt{1-x}$. Область определения обеих функций: $x \in [-1, 1]$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$\sqrt{x+1} = 2 - \sqrt{1-x}$
$\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(1-x)} + (1-x) = 4$
$2 + 2\sqrt{1-x^2} = 4$
$2\sqrt{1-x^2} = 2$
$\sqrt{1-x^2} = 1$
Возведем в квадрат еще раз: $1-x^2 = 1 \implies x^2=0 \implies x_0=0$. Проверка показывает, что $x_0=0$ является корнем исходного уравнения. Это единственная общая точка. Найдем ординату: $y_0 = f(0) = \sqrt{0+1} = 1$. Общая точка — $(0, 1)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = (\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
$g'(x) = (2 - \sqrt{1-x})' = 0 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = \frac{1}{2}$
$g'(0) = \frac{1}{2\sqrt{1-0}} = \frac{1}{2}$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательная в точке $(0, 1)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 1)$ и $f'(0) = 1/2$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 0)$
$y = \frac{1}{2}x + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$.