Номер 231, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 8. Геометрический смысл производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 231, страница 97.

№231 (с. 97)
Условие. №231 (с. 97)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Условие

231. Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке — общую касательную; написать уравнение этой касательной:

1) $y = x^4, y = x^6 + 2x^2$

2) $y = x^4, y = x^3 - 3x^2$

3) $y = (x + 2)^2, y = 2 - x^2$

4) $y = x(2 + x), y = x(2 - x)$

5) $y = \sqrt{x+1}, y = x^2 + \frac{1}{3}x + 1$

6) $y = \sqrt{x+1}, y = 2 - \sqrt{1-x}$

Решение 1. №231 (с. 97)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Решение 1 (продолжение 6)
Решение 2. №231 (с. 97)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 231, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 3. №231 (с. 97)

1) $y = x^4, y = x^6 + 2x^2$

Обозначим функции $f(x) = x^4$ и $g(x) = x^6 + 2x^2$.

1. Поиск общей точки.
Чтобы найти общие точки, приравняем выражения для $y$:
$x^4 = x^6 + 2x^2$
$x^6 - x^4 + 2x^2 = 0$
Вынесем $x^2$ за скобки:
$x^2(x^4 - x^2 + 2) = 0$
Одно из решений — $x_0 = 0$. Рассмотрим уравнение в скобках: $x^4 - x^2 + 2 = 0$. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):
$t^2 - t + 2 = 0$
Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней для $t$ нет. Следовательно, существует только одна точка пересечения с абсциссой $x_0 = 0$.
Найдем ординату этой точки: $y_0 = f(0) = 0^4 = 0$. Таким образом, графики имеют одну общую точку $(0, 0)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные функций:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$
$g'(x) = (x^6 + 2x^2)' = 6x^5 + 4x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$
$g'(0) = 6 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0 = 0$
Так как $f'(0) = g'(0)$, угловые коэффициенты касательных в точке $(0, 0)$ равны, а значит, касательная является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 0)$ и $f'(0) = 0$:
$y - 0 = 0(x - 0)$
$y = 0$

Ответ: $y = 0$.

2) $y = x^4, y = x^3 - 3x^2$

Обозначим функции $f(x) = x^4$ и $g(x) = x^3 - 3x^2$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$x^4 = x^3 - 3x^2$
$x^4 - x^3 + 3x^2 = 0$
$x^2(x^2 - x + 3) = 0$
Одно из решений — $x_0 = 0$. Уравнение $x^2 - x + 3 = 0$ имеет дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0$, поэтому других действительных корней нет. Единственная общая точка имеет абсциссу $x_0 = 0$.
Ордината: $y_0 = f(0) = 0^4 = 0$. Общая точка — $(0, 0)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$
$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$
$g'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательная в точке $(0, 0)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 0)$ и $f'(0) = 0$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 0 = 0(x - 0)$
$y = 0$

Ответ: $y = 0$.

3) $y = (x+2)^2, y = 2 - x^2$

Обозначим функции $f(x) = (x+2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$(x+2)^2 = 2 - x^2$
$x^2 + 4x + 4 = 2 - x^2$
$2x^2 + 4x + 2 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x+1)^2 = 0$
Единственное решение — $x_0 = -1$. Найдем ординату: $y_0 = f(-1) = (-1+2)^2 = 1$. Общая точка — $(-1, 1)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = ((x+2)^2)' = 2(x+2)$
$g'(x) = (2 - x^2)' = -2x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = 2(-1+2) = 2$
$g'(-1) = -2(-1) = 2$
Так как $f'(-1) = g'(-1)$, касательная в точке $(-1, 1)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (-1, 1)$ и $f'(-1) = 2$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 1 = 2(x - (-1))$
$y - 1 = 2x + 2$
$y = 2x + 3$

Ответ: $y = 2x + 3$.

4) $y = x(2+x), y = x(2-x)$

Обозначим функции $f(x) = x(2+x) = 2x + x^2$ и $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$2x + x^2 = 2x - x^2$
$2x^2 = 0$
Единственное решение — $x_0 = 0$.
Найдем ординату: $y_0 = f(0) = 0(2+0) = 0$. Общая точка — $(0, 0)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = (2x + x^2)' = 2 + 2x$
$g'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2 + 2 \cdot 0 = 2$
$g'(0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательная в точке $(0, 0)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 0)$ и $f'(0) = 2$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 0 = 2(x - 0)$
$y = 2x$

Ответ: $y = 2x$.

5) $y = \sqrt{x+1}, y = x^2 + \frac{1}{3}x + 1$

Примечание: В условии задачи для функции $y = x^2 + \frac{1}{3}x + 1$, по-видимому, допущена опечатка. При данных коэффициентах у графиков есть две точки пересечения (одна из них $x=0$), но ни в одной из них нет общей касательной. Кроме того, поиск точки касания приводит к решению уравнений, не имеющих простых рациональных корней. Наиболее вероятная исправленная версия второй функции, для которой условия задачи выполняются: $y = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + 1$. Ниже приведено решение для этого исправленного условия.

Обозначим функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + 1$.

1. Поиск точки касания.
Для существования общей касательной в точке $x_0$ необходимо равенство производных: $f'(x_0) = g'(x_0)$.
Найдем производные:
$f'(x) = (\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
$g'(x) = (\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + 1)' = \frac{2x}{4} + \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$
Приравняем производные:
$\frac{1}{2\sqrt{x_0+1}} = \frac{x_0}{2} + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{x_0+1}} = x_0 + 1$
Пусть $u = \sqrt{x_0+1}$, тогда $u^2 = x_0+1$. Уравнение принимает вид: $\frac{1}{u} = u^2$, откуда $u^3 = 1$, что дает единственное действительное решение $u=1$.
Следовательно, $\sqrt{x_0+1} = 1 \implies x_0+1=1 \implies x_0=0$.

2. Проверка, является ли точка касания общей точкой.
Теперь проверим, совпадают ли значения функций в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sqrt{0+1} = 1$
$g(0) = \frac{0^2}{4} + \frac{0}{2} + 1 = 1$
Так как $f(0)=g(0)=1$, точка $(0,1)$ является общей точкой касания. Можно также показать, что это единственная общая точка.

3. Уравнение общей касательной.
Угловой коэффициент $k = f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = \frac{1}{2}$.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 1)$ и $k = 1/2$ в уравнение $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 0)$
$y = \frac{1}{2}x + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

6) $y = \sqrt{x+1}, y = 2 - \sqrt{1-x}$

Обозначим функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = 2 - \sqrt{1-x}$. Область определения обеих функций: $x \in [-1, 1]$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$\sqrt{x+1} = 2 - \sqrt{1-x}$
$\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(1-x)} + (1-x) = 4$
$2 + 2\sqrt{1-x^2} = 4$
$2\sqrt{1-x^2} = 2$
$\sqrt{1-x^2} = 1$
Возведем в квадрат еще раз: $1-x^2 = 1 \implies x^2=0 \implies x_0=0$. Проверка показывает, что $x_0=0$ является корнем исходного уравнения. Это единственная общая точка. Найдем ординату: $y_0 = f(0) = \sqrt{0+1} = 1$. Общая точка — $(0, 1)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = (\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
$g'(x) = (2 - \sqrt{1-x})' = 0 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = \frac{1}{2}$
$g'(0) = \frac{1}{2\sqrt{1-0}} = \frac{1}{2}$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательная в точке $(0, 1)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 1)$ и $f'(0) = 1/2$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 0)$
$y = \frac{1}{2}x + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 231 расположенного на странице 97 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №231 (с. 97), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.