Страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

220. Найти значения $x$, при которых значение производной функции $f(x)$ равно $0$; положительно; отрицательно, если:

1) $f(x) = x - \ln x;$

2) $f(x) = x \ln x;$

3) $f(x) = x^2 \ln x;$

4) $f(x) = x^3 - 3 \ln x.$

1) Дана функция $f(x) = x - \ln x$.
Область определения функции (ОДЗ) задается условием $x > 0$, так как аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным.
Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:
$f'(x) = (x - \ln x)' = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$.
Приведем производную к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{x-1}{x}$.
Теперь найдем значения $x$, при которых производная равна 0, положительна и отрицательна.
Производная равна 0: $f'(x) = 0$.
$\frac{x-1}{x} = 0$.
Так как $x \in (0, +\infty)$, то знаменатель не равен нулю. Значит, числитель должен быть равен нулю:
$x-1 = 0 \implies x = 1$.
Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\frac{x-1}{x} > 0$.
Поскольку в области определения $x > 0$, знаменатель дроби всегда положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя:
$x-1 > 0 \implies x > 1$.
Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\frac{x-1}{x} < 0$.
Аналогично, так как $x > 0$, знак дроби определяется знаком числителя: $x-1 < 0 \implies x < 1$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < 1$.
Ответ: производная равна 0 при $x=1$; производная положительна при $x \in (1, +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (0, 1)$.

2) Дана функция $f(x) = x \ln x$.
Область определения функции: $x > 0$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x \ln x)' = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
Производная равна 0: $f'(x) = 0$.
$\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\ln x + 1 > 0 \implies \ln x > -1$.
Так как логарифмическая функция с основанием $e > 1$ является возрастающей, то $x > e^{-1}$, то есть $x > \frac{1}{e}$.
Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\ln x + 1 < 0 \implies \ln x < -1 \implies x < e^{-1}$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < \frac{1}{e}$.
Ответ: производная равна 0 при $x=\frac{1}{e}$; производная положительна при $x \in (\frac{1}{e}, +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (0, \frac{1}{e})$.

3) Дана функция $f(x) = x^2 \ln x$.
Область определения функции: $x > 0$.
Найдем производную по правилу дифференцирования произведения:
$f'(x) = (x^2 \ln x)' = (x^2)'\ln x + x^2(\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$.
Вынесем общий множитель $x$: $f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.
Производная равна 0: $f'(x) = 0$.
$x(2 \ln x + 1) = 0$.
Так как по ОДЗ $x > 0$, то $x \neq 0$. Следовательно, $2 \ln x + 1 = 0$.
$2 \ln x = -1 \implies \ln x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$x(2 \ln x + 1) > 0$.
Поскольку $x > 0$, знак всего выражения определяется знаком скобки $(2 \ln x + 1)$:
$2 \ln x + 1 > 0 \implies 2 \ln x > -1 \implies \ln x > -\frac{1}{2} \implies x > e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$x(2 \ln x + 1) < 0$.
Так как $x > 0$, то $2 \ln x + 1 < 0$:
$2 \ln x < -1 \implies \ln x < -\frac{1}{2} \implies x < e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$.
Ответ: производная равна 0 при $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$; производная положительна при $x \in (\frac{1}{\sqrt{e}}, +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (0, \frac{1}{\sqrt{e}})$.

4) Дана функция $f(x) = x^3 - 3 \ln x$.
Область определения функции: $x > 0$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3 \ln x)' = (x^3)' - 3(\ln x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 - \frac{3}{x}$.
Приведем к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{3x^3 - 3}{x} = \frac{3(x^3 - 1)}{x}$.
Производная равна 0: $f'(x) = 0$.
$\frac{3(x^3 - 1)}{x} = 0$.
Так как $x>0$, то $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.
Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\frac{3(x^3 - 1)}{x} > 0$.
В области определения $x > 0$, поэтому знаменатель $x$ и множитель 3 положительны. Знак дроби зависит от знака выражения $(x^3 - 1)$:
$x^3 - 1 > 0 \implies x^3 > 1 \implies x > 1$.
Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\frac{3(x^3 - 1)}{x} < 0$.
Аналогично, знак определяется выражением $(x^3 - 1)$:
$x^3 - 1 < 0 \implies x^3 < 1 \implies x < 1$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < 1$.
Ответ: производная равна 0 при $x=1$; производная положительна при $x \in (1, +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (0, 1)$.

221. Найти производную функции $f(x) = \ln(x^2 + 5x + 6)$ при $x < -3$ и при $x > -2$.

Чтобы найти производную функции $f(x) = \ln(x^2 + 5x + 6)$, сначала определим ее область определения. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным, поэтому необходимо решить неравенство:

$x^2 + 5x + 6 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$. Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями. Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, +\infty)$. Это подтверждает, что функция определена на интервалах, указанных в задании.

Теперь найдем производную. Функция является сложной, вида $f(x) = \ln(u(x))$, где внутренняя функция $u(x) = x^2 + 5x + 6$. Производная такой функции находится по правилу:

$f'(x) = (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (x^2 + 5x + 6)' = 2x + 5$

Подставив $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу, получим общее выражение для производной:

$f'(x) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6}$

Эта формула верна на всей области определения функции.

при $x < -3$

На данном интервале производная функции вычисляется по общей формуле.
Ответ: $f'(x) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6}$

при $x > -2$

На данном интервале производная функции вычисляется по той же самой формуле.
Ответ: $f'(x) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6}$