Номер 186, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 186, страница 83.

Условие.

186. 1) $- \frac{2}{x^4}$;

2) $4x^{-\frac{3}{2}}$;

3) $x^{-\frac{3}{2}} + 6x^{\frac{5}{6}};

4) $2\sqrt[7]{x^2} - 3\sqrt[5]{x^{-2}};

5) $6\sqrt[6]{x^5} - \frac{5}{\sqrt[5]{x^4}};

6) $2x\sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Задача состоит в нахождении первообразной (неопределенного интеграла) для функции $f(x) = -\frac{2}{x^4}$.

Сначала представим функцию в виде степенной функции: $f(x) = -2x^{-4}$.

Для нахождения интеграла используем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

$\int \left(-\frac{2}{x^4}\right) dx = \int -2x^{-4} dx = -2 \int x^{-4} dx$

Применяем формулу для $n=-4$:

$-2 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = -2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = \frac{2}{3}x^{-3} + C$.

Запишем результат, используя положительный показатель степени:

$\frac{2}{3x^3} + C$.

Ответ: $\frac{2}{3x^3} + C$.

2)

Найдем первообразную для функции $f(x) = 4x^{-\frac{3}{2}}$.

Функция уже представлена в виде степенной функции. Используем ту же формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 4x^{-\frac{3}{2}} dx = 4 \int x^{-\frac{3}{2}} dx$.

Применяем формулу для $n=-\frac{3}{2}$:

$4 \cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = 4 \cdot (-2)x^{-\frac{1}{2}} + C = -8x^{-\frac{1}{2}} + C$.

Запишем результат в виде дроби с корнем:

$-\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} + C = -\frac{8}{\sqrt{x}} + C$.

Ответ: $-8x^{-\frac{1}{2}} + C$ или $-\frac{8}{\sqrt{x}} + C$.

3)

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 6x^{\frac{5}{6}}$.

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$\int (x^{\frac{3}{2}} + 6x^{\frac{5}{6}}) dx = \int x^{\frac{3}{2}} dx + \int 6x^{\frac{5}{6}} dx$.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C_1 = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C_1$.

$\int 6x^{\frac{5}{6}} dx = 6 \int x^{\frac{5}{6}} dx = 6 \cdot \frac{x^{\frac{5}{6}+1}}{\frac{5}{6}+1} + C_2 = 6 \cdot \frac{x^{\frac{11}{6}}}{\frac{11}{6}} + C_2 = 6 \cdot \frac{6}{11}x^{\frac{11}{6}} + C_2 = \frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} + C_2$.

Складываем результаты и объединяем константы $C_1+C_2=C$:

$\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} + C$.

Ответ: $\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} + C$.

4)

Найдем первообразную для функции $f(x) = 2\sqrt[7]{x^2} - 3\sqrt[5]{x^{-2}}$.

Сначала представим функцию в виде степенных функций, используя свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$:

$f(x) = 2x^{\frac{2}{7}} - 3x^{-\frac{2}{5}}$.

Интегрируем, используя правило для разности функций:

$\int (2x^{\frac{2}{7}} - 3x^{-\frac{2}{5}}) dx = \int 2x^{\frac{2}{7}} dx - \int 3x^{-\frac{2}{5}} dx$.

$2 \int x^{\frac{2}{7}} dx - 3 \int x^{-\frac{2}{5}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{2}{7}+1}}{\frac{2}{7}+1} - 3 \cdot \frac{x^{-\frac{2}{5}+1}}{-\frac{2}{5}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{9}{7}}}{\frac{9}{7}} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{5}}}{\frac{3}{5}} + C$.

Упрощаем выражение:

$2 \cdot \frac{7}{9}x^{\frac{9}{7}} - 3 \cdot \frac{5}{3}x^{\frac{3}{5}} + C = \frac{14}{9}x^{\frac{9}{7}} - 5x^{\frac{3}{5}} + C$.

Можно представить ответ с использованием корней: $\frac{14}{9}\sqrt[7]{x^9} - 5\sqrt[5]{x^3} + C = \frac{14}{9}x\sqrt[7]{x^2} - 5\sqrt[5]{x^3} + C$.

Ответ: $\frac{14}{9}x^{\frac{9}{7}} - 5x^{\frac{3}{5}} + C$.

5)

Найдем первообразную для функции $f(x) = 6\sqrt[6]{x^5} - \frac{5}{\sqrt[5]{x^4}}$.

Представим функцию в виде степенных функций:

$f(x) = 6x^{\frac{5}{6}} - 5x^{-\frac{4}{5}}$.

Интегрируем:

$\int (6x^{\frac{5}{6}} - 5x^{-\frac{4}{5}}) dx = 6 \int x^{\frac{5}{6}} dx - 5 \int x^{-\frac{4}{5}} dx$.

$6 \cdot \frac{x^{\frac{5}{6}+1}}{\frac{5}{6}+1} - 5 \cdot \frac{x^{-\frac{4}{5}+1}}{-\frac{4}{5}+1} + C = 6 \cdot \frac{x^{\frac{11}{6}}}{\frac{11}{6}} - 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{5}}}{\frac{1}{5}} + C$.

Упрощаем выражение:

$6 \cdot \frac{6}{11}x^{\frac{11}{6}} - 5 \cdot 5x^{\frac{1}{5}} + C = \frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} - 25x^{\frac{1}{5}} + C$.

Можно представить ответ с использованием корней: $\frac{36}{11}\sqrt[6]{x^{11}} - 25\sqrt[5]{x} + C = \frac{36}{11}x\sqrt[6]{x^5} - 25\sqrt[5]{x} + C$.

Ответ: $\frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} - 25x^{\frac{1}{5}} + C$.

6)

Найдем первообразную для функции $f(x) = 2x\sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}}$.

Представим функцию в виде степенных функций. Для этого сначала упростим каждый член:

$2x\sqrt[3]{x^2} = 2x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}} = 2x^{1+\frac{2}{3}} = 2x^{\frac{5}{3}}$.

$\frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}} = \frac{4}{x^1 \cdot x^{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{x^{1+\frac{3}{4}}} = \frac{4}{x^{\frac{7}{4}}} = 4x^{-\frac{7}{4}}$.

Таким образом, $f(x) = 2x^{\frac{5}{3}} + 4x^{-\frac{7}{4}}$.

Интегрируем:

$\int (2x^{\frac{5}{3}} + 4x^{-\frac{7}{4}}) dx = 2\int x^{\frac{5}{3}} dx + 4\int x^{-\frac{7}{4}} dx$.

$2 \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}+1}}{\frac{5}{3}+1} + 4 \cdot \frac{x^{-\frac{7}{4}+1}}{-\frac{7}{4}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}} + 4 \cdot \frac{x^{-\frac{3}{4}}}{-\frac{3}{4}} + C$.

Упрощаем выражение:

$2 \cdot \frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}} + 4 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)x^{-\frac{3}{4}} + C = \frac{6}{8}x^{\frac{8}{3}} - \frac{16}{3}x^{-\frac{3}{4}} + C = \frac{3}{4}x^{\frac{8}{3}} - \frac{16}{3}x^{-\frac{3}{4}} + C$.

Можно представить ответ с использованием корней: $\frac{3}{4}\sqrt[3]{x^8} - \frac{16}{3\sqrt[4]{x^3}} + C = \frac{3}{4}x^2\sqrt[3]{x^2} - \frac{16}{3\sqrt[4]{x^3}} + C$.

Ответ: $\frac{3}{4}x^{\frac{8}{3}} - \frac{16}{3}x^{-\frac{3}{4}} + C$.