Номер 161, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Определение производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 161, страница 75.

Условие.

161. Найти мгновенную скорость движения точки в каждый момент времени t, если закон её движения s (t) задан формулой:

1) $s (t) = \frac{3}{2} t^2$;

2) $s (t) = 5t^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Мгновенная скорость движения точки $v(t)$ представляет собой первую производную от закона движения (пути) $s(t)$ по времени $t$. Для нахождения скорости необходимо найти производную $s'(t)$.

Основная формула для дифференцирования, которая нам понадобится, это производная степенной функции: $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$.

1) Дан закон движения точки: $s(t) = \frac{3}{2}t^2$.

Чтобы найти мгновенную скорость $v(t)$, возьмем производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = \left(\frac{3}{2}t^2\right)'$

Выносим константу $\frac{3}{2}$ за знак производной и дифференцируем $t^2$:

$v(t) = \frac{3}{2} \cdot (t^2)' = \frac{3}{2} \cdot 2t^{2-1} = \frac{3}{2} \cdot 2t = 3t$.

Следовательно, мгновенная скорость в любой момент времени $t$ определяется формулой $v(t) = 3t$.

Ответ: $v(t) = 3t$.

2) Дан закон движения точки: $s(t) = 5t^2$.

Чтобы найти мгновенную скорость $v(t)$, возьмем производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (5t^2)'$

Выносим константу $5$ за знак производной и дифференцируем $t^2$:

$v(t) = 5 \cdot (t^2)' = 5 \cdot 2t^{2-1} = 5 \cdot 2t = 10t$.

Следовательно, мгновенная скорость в любой момент времени $t$ определяется формулой $v(t) = 10t$.

Ответ: $v(t) = 10t$.