Номер 154, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Непрерывность функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 154, страница 71.

Условие.

154. Доказать, что функция f(x) непрерывна в точке a, если:

1) $f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{ при } x < 2, \\ 3x - 9 & \text{ при } x \ge 2, \end{cases} a = 2;$

2) $f(x) = \begin{cases} |\cos x| & \text{ при } x < \pi, \\ (x - \pi)^2 + 1 & \text{ при } x \ge \pi, \end{cases} a = \pi.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция определена в точке $a$, то есть существует значение $f(a)$.
2. Существует предел функции в точке $a$, что означает равенство левостороннего и правостороннего пределов: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$.
3. Значение функции в точке $a$ равно ее пределу в этой точке: $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$.

1) $f(x)=\begin{cases} 1-x^2 & \text{при } x<2, \\ 3x-9 & \text{при } x \ge 2, \end{cases} \quad a=2$

Проверим условия непрерывности для данной функции в точке $a=2$.
1. Найдем значение функции в точке $a=2$. При $x=2$ используется вторая формула: $f(2) = 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3$. Функция определена в данной точке.
2. Найдем односторонние пределы в точке $a=2$.
Левосторонний предел (при $x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (1 - x^2) = 1 - 2^2 = -3$.
Правосторонний предел (при $x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 9) = 3(2) - 9 = -3$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны, предел функции в точке $a=2$ существует и равен -3: $\lim_{x \to 2} f(x) = -3$.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке.
Мы получили, что $\lim_{x \to 2} f(x) = -3$ и $f(2) = -3$.
Условие $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ выполняется. Следовательно, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: Доказано, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a=2$.

2) $f(x)=\begin{cases} |\cos x| & \text{при } x<\pi, \\ (x-\pi)^2+1 & \text{при } x \ge \pi, \end{cases} \quad a=\pi$

Проверим условия непрерывности для данной функции в точке $a=\pi$.
1. Найдем значение функции в точке $a=\pi$. При $x=\pi$ используется вторая формула: $f(\pi) = (\pi - \pi)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$. Функция определена в данной точке.
2. Найдем односторонние пределы в точке $a=\pi$.
Левосторонний предел (при $x \to \pi^-$): $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} |\cos x| = |\cos(\pi)| = |-1| = 1$.
Правосторонний предел (при $x \to \pi^+$): $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} ((x-\pi)^2+1) = (\pi-\pi)^2+1 = 1$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны, предел функции в точке $a=\pi$ существует и равен 1: $\lim_{x \to \pi} f(x) = 1$.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке.
Мы получили, что $\lim_{x \to \pi} f(x) = 1$ и $f(\pi) = 1$.
Условие $\lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi)$ выполняется. Следовательно, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: Доказано, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a=\pi$.