Номер 153, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 3. Непрерывность функции - номер 153, страница 71.

Условие.

153. Выяснить, является ли непрерывной в точке $x_0$ функция:

1) $y=\frac{1+x}{x+3}$, $x_0 = -3;$

2) $y=\begin{cases} \frac{x^2+4x+4}{x+2} & \text{при } x \neq -2 \\ 3 & \text{при } x = -2 \end{cases}$, $x_0 = -2;$

3) $f(x)=\begin{cases} x^2+4 & \text{при } x < 2 \\ x+6 & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$, $x_0 = 2;$

4) $f(x)=\begin{cases} \sin x & \text{при } x < \pi \\ 6+|x-\pi| & \text{при } x \ge \pi \end{cases}$, $x_0 = \pi.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для выяснения, является ли функция непрерывной в точке $x_0$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$, то есть существует значение $f(x_0)$.
2. Существует предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Это означает, что левый и правый пределы равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
3. Значение функции в точке $x_0$ равно пределу функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция имеет разрыв в точке $x_0$.

1) $y = \frac{1+x}{x+3}$, $x_0 = -3$

Проверим первое условие: найдем значение функции в точке $x_0 = -3$.

$y(-3) = \frac{1+(-3)}{-3+3} = \frac{-2}{0}$

На ноль делить нельзя, следовательно, функция не определена в точке $x_0 = -3$. Первое условие непрерывности не выполняется, значит, функция терпит разрыв в этой точке (разрыв второго рода).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = -3$.

2) $y = \begin{cases} \frac{x^2+4x+4}{x+2} & \text{при } x \neq -2, \\ 3 & \text{при } x = -2, \end{cases}$ $x_0 = -2$

1. Проверим, определена ли функция в точке $x_0 = -2$. Согласно определению функции, при $x = -2$ значение $y(-2) = 3$. Функция определена в данной точке.

2. Найдем предел функции при $x \to -2$. Для $x$, стремящегося к $-2$, но не равного $-2$, используем выражение $y(x) = \frac{x^2+4x+4}{x+2}$.

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2+4x+4}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)^2}{x+2}$

Поскольку $x \to -2$, но $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$\lim_{x \to -2} (x+2) = -2 + 2 = 0$.

Предел функции в точке $x_0 = -2$ существует и равен 0.

3. Сравним значение функции в точке и ее предел. Мы имеем $y(-2) = 3$ и $\lim_{x \to -2} y(x) = 0$.

Поскольку $\lim_{x \to -2} y(x) \neq y(-2)$ ($0 \neq 3$), третье условие непрерывности не выполняется. Следовательно, функция имеет устранимый разрыв в точке $x_0 = -2$.

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = -2$.

3) $f(x) = \begin{cases} x^2+4 & \text{при } x < 2, \\ x+6 & \text{при } x \ge 2, \end{cases}$ $x_0 = 2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0=2$. Для $x \ge 2$ используется выражение $f(x) = x+6$.

$f(2) = 2 + 6 = 8$.

Функция определена в точке $x_0=2$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=2$, так как функция задана по-разному слева и справа от точки.

Левосторонний предел (при $x \to 2^-$):

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2+4) = 2^2+4 = 8$.

Правосторонний предел (при $x \to 2^+$):

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+6) = 2+6 = 8$.

Так как левый и правый пределы равны ($8=8$), то предел функции в точке $x_0=2$ существует и равен $\lim_{x \to 2} f(x) = 8$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке. Мы получили $f(2) = 8$ и $\lim_{x \to 2} f(x) = 8$.

Поскольку $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 2$.

4) $f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{при } x < \pi, \\ 6+|x-\pi| & \text{при } x \ge \pi, \end{cases}$ $x_0 = \pi$

1. Найдем значение функции в точке $x_0=\pi$. При $x \ge \pi$ используется выражение $f(x) = 6+|x-\pi|$.

$f(\pi) = 6 + |\pi - \pi| = 6 + 0 = 6$.

Функция определена в точке $x_0=\pi$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=\pi$.

Левосторонний предел (при $x \to \pi^-$):

$\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} \sin x = \sin(\pi) = 0$.

Правосторонний предел (при $x \to \pi^+$):

$\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} (6+|x-\pi|)$.

Поскольку при $x \to \pi^+$ мы имеем $x > \pi$, то $x-\pi > 0$, и, следовательно, $|x-\pi|=x-\pi$.

$\lim_{x \to \pi^+} (6 + x - \pi) = 6 + \pi - \pi = 6$.

Так как левосторонний предел (0) не равен правостороннему пределу (6), то общий предел $\lim_{x \to \pi} f(x)$ не существует. Второе условие непрерывности не выполняется. Функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = \pi$.