Номер 153, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Непрерывность функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 153, страница 71.
№153 (с. 71)
Условие. №153 (с. 71)
скриншот условия

153. Выяснить, является ли непрерывной в точке $x_0$ функция:
1) $y=\frac{1+x}{x+3}$, $x_0 = -3;$
2) $y=\begin{cases} \frac{x^2+4x+4}{x+2} & \text{при } x \neq -2 \\ 3 & \text{при } x = -2 \end{cases}$, $x_0 = -2;$
3) $f(x)=\begin{cases} x^2+4 & \text{при } x < 2 \\ x+6 & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$, $x_0 = 2;$
4) $f(x)=\begin{cases} \sin x & \text{при } x < \pi \\ 6+|x-\pi| & \text{при } x \ge \pi \end{cases}$, $x_0 = \pi.$
Решение 1. №153 (с. 71)




Решение 2. №153 (с. 71)

Решение 3. №153 (с. 71)
Для выяснения, является ли функция непрерывной в точке $x_0$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:
- Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$, то есть существует значение $f(x_0)$.
- Существует предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Это означает, что левый и правый пределы равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
- Значение функции в точке $x_0$ равно пределу функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция имеет разрыв в точке $x_0$.
1) $y = \frac{1+x}{x+3}$, $x_0 = -3$
Проверим первое условие: найдем значение функции в точке $x_0 = -3$.
$y(-3) = \frac{1+(-3)}{-3+3} = \frac{-2}{0}$
На ноль делить нельзя, следовательно, функция не определена в точке $x_0 = -3$. Первое условие непрерывности не выполняется, значит, функция терпит разрыв в этой точке (разрыв второго рода).
Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = -3$.
2) $y = \begin{cases} \frac{x^2+4x+4}{x+2} & \text{при } x \neq -2, \\ 3 & \text{при } x = -2, \end{cases}$ $x_0 = -2$
1. Проверим, определена ли функция в точке $x_0 = -2$. Согласно определению функции, при $x = -2$ значение $y(-2) = 3$. Функция определена в данной точке.
2. Найдем предел функции при $x \to -2$. Для $x$, стремящегося к $-2$, но не равного $-2$, используем выражение $y(x) = \frac{x^2+4x+4}{x+2}$.
$\lim_{x \to -2} \frac{x^2+4x+4}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)^2}{x+2}$
Поскольку $x \to -2$, но $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:
$\lim_{x \to -2} (x+2) = -2 + 2 = 0$.
Предел функции в точке $x_0 = -2$ существует и равен 0.
3. Сравним значение функции в точке и ее предел. Мы имеем $y(-2) = 3$ и $\lim_{x \to -2} y(x) = 0$.
Поскольку $\lim_{x \to -2} y(x) \neq y(-2)$ ($0 \neq 3$), третье условие непрерывности не выполняется. Следовательно, функция имеет устранимый разрыв в точке $x_0 = -2$.
Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = -2$.
3) $f(x) = \begin{cases} x^2+4 & \text{при } x < 2, \\ x+6 & \text{при } x \ge 2, \end{cases}$ $x_0 = 2$
1. Найдем значение функции в точке $x_0=2$. Для $x \ge 2$ используется выражение $f(x) = x+6$.
$f(2) = 2 + 6 = 8$.
Функция определена в точке $x_0=2$.
2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=2$, так как функция задана по-разному слева и справа от точки.
Левосторонний предел (при $x \to 2^-$):
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2+4) = 2^2+4 = 8$.
Правосторонний предел (при $x \to 2^+$):
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+6) = 2+6 = 8$.
Так как левый и правый пределы равны ($8=8$), то предел функции в точке $x_0=2$ существует и равен $\lim_{x \to 2} f(x) = 8$.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке. Мы получили $f(2) = 8$ и $\lim_{x \to 2} f(x) = 8$.
Поскольку $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, все три условия непрерывности выполнены.
Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 2$.
4) $f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{при } x < \pi, \\ 6+|x-\pi| & \text{при } x \ge \pi, \end{cases}$ $x_0 = \pi$
1. Найдем значение функции в точке $x_0=\pi$. При $x \ge \pi$ используется выражение $f(x) = 6+|x-\pi|$.
$f(\pi) = 6 + |\pi - \pi| = 6 + 0 = 6$.
Функция определена в точке $x_0=\pi$.
2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=\pi$.
Левосторонний предел (при $x \to \pi^-$):
$\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} \sin x = \sin(\pi) = 0$.
Правосторонний предел (при $x \to \pi^+$):
$\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} (6+|x-\pi|)$.
Поскольку при $x \to \pi^+$ мы имеем $x > \pi$, то $x-\pi > 0$, и, следовательно, $|x-\pi|=x-\pi$.
$\lim_{x \to \pi^+} (6 + x - \pi) = 6 + \pi - \pi = 6$.
Так как левосторонний предел (0) не равен правостороннему пределу (6), то общий предел $\lim_{x \to \pi} f(x)$ не существует. Второе условие непрерывности не выполняется. Функция имеет разрыв первого рода (скачок).
Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = \pi$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 153 расположенного на странице 71 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №153 (с. 71), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.