Номер 146, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Предел функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 146, страница 66.

Условие.

146. Вычислить:

1) $\lim_{x\to 0} \frac{3 - x + x^3}{2 + 2x - x^2}$

2) $\lim_{x\to 6} \frac{\sqrt{x-2} - 2}{x - 6}$

3) $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2 + 4x + 7}{6x^2 - x + 5}$

4) $\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1+2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}$

5) $\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{3x^2 + 4x + 7}}{x}$

6) $\lim_{x\to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - x + 1}\right)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Вычислим предел $lim_{x \to 0} \frac{3-x+x^3}{2+2x-x^2}$.
Так как функция непрерывна в точке $x=0$, мы можем найти предел прямой подстановкой значения $x=0$ в выражение.
Числитель: $3 - 0 + 0^3 = 3$.
Знаменатель: $2 + 2(0) - 0^2 = 2$.
Предел равен отношению значений числителя и знаменателя.
$lim_{x \to 0} \frac{3-x+x^3}{2+2x-x^2} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

2) Вычислим предел $lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x-2}-2}{x-6}$.
При подстановке $x=6$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $\sqrt{6-2}-2 = \sqrt{4}-2 = 2-2 = 0$.
Знаменатель: $6-6=0$.
Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{x-2}+2$.
$lim_{x \to 6} \frac{(\sqrt{x-2}-2)(\sqrt{x-2}+2)}{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)} = lim_{x \to 6} \frac{(\sqrt{x-2})^2 - 2^2}{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)} = lim_{x \to 6} \frac{x-2-4}{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)} = lim_{x \to 6} \frac{x-6}{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)}$.
Сокращаем дробь на $(x-6)$, так как $x \to 6$, но $x \neq 6$.
$lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x-2}+2}$.
Теперь подставляем $x=6$ в полученное выражение:
$\frac{1}{\sqrt{6-2}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Вычислим предел $lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+4x+7}{6x^2-x+5}$.
При $x \to \infty$ мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2+4x+7}{x^2}}{\frac{6x^2-x+5}{x^2}} = lim_{x \to \infty} \frac{3+\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}}{6-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}$.
Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{4}{x}$, $\frac{7}{x^2}$, $\frac{1}{x}$ и $\frac{5}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:
$\frac{3+0+0}{6-0+0} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Вычислим предел $lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$.
При подстановке $x=4$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $\sqrt{1+2(4)}-3 = \sqrt{9}-3 = 3-3 = 0$.
Знаменатель: $\sqrt{4}-2 = 2-2 = 0$.
Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю ($\sqrt{1+2x}+3$) и знаменателю ($\sqrt{x}+2$).
$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{1+2x}-3)(\sqrt{1+2x}+3)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(\sqrt{1+2x}+3)} = lim_{x \to 4} \frac{((1+2x)-9)(\sqrt{x}+2)}{((x)-4)(\sqrt{1+2x}+3)} = lim_{x \to 4} \frac{(2x-8)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{1+2x}+3)} = lim_{x \to 4} \frac{2(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{1+2x}+3)}$.
Сокращаем дробь на $(x-4)$:
$lim_{x \to 4} \frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3}$.
Теперь подставляем $x=4$:
$\frac{2(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{1+2(4)}+3} = \frac{2(2+2)}{\sqrt{9}+3} = \frac{2 \cdot 4}{3+3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

5) Вычислим предел $lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{3x^2+4x+7}}{x}$.
Имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Вынесем $x^2$ из-под корня в числителе.
$lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2(3+\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2})}}{x} = lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{3+\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}}}{x}$.
Так как $x \to +\infty$, то $x>0$, и $\sqrt{x^2}=|x|=x$.
$lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{3+\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}}}{x} = lim_{x \to +\infty} \sqrt{3+\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}}$.
При $x \to +\infty$ дроби $\frac{4}{x}$ и $\frac{7}{x^2}$ стремятся к нулю.
$\sqrt{3+0+0} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

6) Вычислим предел $lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+2x+3} - \sqrt{x^2-x+1})$.
Здесь мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\infty - \infty$. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-x+1})$.
$lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+2x+3} - \sqrt{x^2-x+1})(\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-x+1})}{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-x+1}} = lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2+2x+3) - (x^2-x+1)}{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-x+1}}$.
Упростим числитель: $x^2+2x+3 - x^2+x-1 = 3x+2$.
Получаем предел: $lim_{x \to +\infty} \frac{3x+2}{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-x+1}}$.
Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x$.
$lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{3x+2}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-x+1}}{x}} = lim_{x \to +\infty} \frac{3+\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{x^2+2x+3}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2}}} = lim_{x \to +\infty} \frac{3+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}$.
При $x \to +\infty$ все дроби с $x$ в знаменателе стремятся к нулю.
$\frac{3+0}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1-0+0}} = \frac{3}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.