Номер 140, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 1. Предел последовательности. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 140, страница 58.

Условие.

140. Найти $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_n a_{n+1}} \right)$, где $\{a_k\}$ — арифметическая прогрессия, все члены и разность $d$ которой отличны от нуля.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи мы имеем дело с пределом суммы, где знаменатели членов образованы последовательными членами арифметической прогрессии $\{a_k\}$. Обозначим частичную сумму этого ряда как $S_n$:

$S_n = \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна разности прогрессии $d$. То есть, $a_{k+1} - a_k = d$ для любого $k \ge 1$. По условию, $d \ne 0$.

Преобразуем общий член суммы $\frac{1}{a_k a_{k+1}}$. Для этого воспользуемся методом разложения на простейшие дроби. Мы можем заметить, что:

$\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} = \frac{a_{k+1} - a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac{d}{a_k a_{k+1}}$

Отсюда, разделив обе части на $d$ (которое не равно нулю), получим выражение для общего члена нашей суммы:

$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$

Теперь мы можем переписать всю сумму $S_n$, используя это преобразование. Это позволит нам представить сумму в виде так называемого телескопического ряда:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$

Распишем члены этой суммы:

$S_n = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) + \left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3} \right) + \left( \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) \right]$

Как видно, все промежуточные члены взаимно уничтожаются (например, $-\frac{1}{a_2}$ и $+\frac{1}{a_2}$, $-\frac{1}{a_3}$ и $+\frac{1}{a_3}$, и так далее). В результате остаются только первый и последний члены:

$S_n = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$

Теперь найдем предел этой суммы при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$

Для этого нам нужно найти предел члена $\frac{1}{a_{n+1}}$. Член арифметической прогрессии $a_{n+1}$ выражается формулой $a_{n+1} = a_1 + n \cdot d$.Поскольку по условию $d \ne 0$, при $n \to \infty$ величина $a_{n+1}$ стремится к бесконечности ($+\infty$, если $d>0$, и $-\infty$, если $d<0$). В любом случае, $|a_{n+1}| \to \infty$.Следовательно, предел обратной величины равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n+1}} = 0$

Подставляя это значение в выражение для предела суммы, получаем:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - 0 \right) = \frac{1}{a_1 d}$

Ответ: $\frac{1}{a_1 d}$