Номер 142, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 2. Предел функции - номер 142, страница 65.

Условие.

142. Найти пределы слева и справа функции $f(x)$ в точке $a$, если:

1) $f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 \text{ при } x < 0, \\ x + 2 \text{ при } x > 0, \end{cases} a = 0;$

2) $f(x) = \frac{3x - |x|}{2x}, a = 0;$

3) $f(x) = \begin{cases} |x| - 1 \text{ при } x < -1, \\ \sqrt{x + 2} \text{ при } x > -1, \end{cases} a = -1;$

4) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2|x| \text{ при } x < -1, \\ x + 3 \text{ при } x > -1, \end{cases} a = -1;$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{при } x < 0 \\ x + 2 & \text{при } x > 0 \end{cases}$ и точка $a = 0$.
Для нахождения предела слева (левостороннего предела), мы рассматриваем значения $x$, стремящиеся к $0$, но остающиеся меньше $0$ ($x \to 0^-$). Для таких $x$ функция задается как $f(x) = 1 - x^2$.
Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 - x^2) = 1 - 0^2 = 1$.
Для нахождения предела справа (правостороннего предела), мы рассматриваем значения $x$, стремящиеся к $0$, но остающиеся больше $0$ ($x \to 0^+$). Для таких $x$ функция задается как $f(x) = x + 2$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 2) = 0 + 2 = 2$.
Ответ: предел слева равен 1, предел справа равен 2.

2) Дана функция $f(x) = \frac{3x - |x|}{2x}$ и точка $a = 0$.
Для нахождения односторонних пределов в точке $a=0$, необходимо раскрыть модуль $|x|$ в зависимости от знака $x$.
При $x \to 0^-$ (x стремится к нулю слева), имеем $x < 0$, и поэтому $|x| = -x$. Функция принимает вид: $f(x) = \frac{3x - (-x)}{2x} = \frac{4x}{2x} = 2$.
Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 2 = 2$.
При $x \to 0^+$ (x стремится к нулю справа), имеем $x > 0$, и поэтому $|x| = x$. Функция принимает вид: $f(x) = \frac{3x - x}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$.
Ответ: предел слева равен 2, предел справа равен 1.

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} |x| - 1 & \text{при } x < -1 \\ \sqrt{x+2} & \text{при } x > -1 \end{cases}$ и точка $a = -1$.
Для нахождения предела слева ($x \to -1^-$), мы используем выражение для $x < -1$, то есть $f(x) = |x| - 1$. Поскольку при $x \to -1^-$ переменная $x$ отрицательна, то $|x| = -x$.
Таким образом, $f(x) = -x - 1$.
Предел слева: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-x - 1) = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$.
Для нахождения предела справа ($x \to -1^+$), мы используем выражение для $x > -1$, то есть $f(x) = \sqrt{x+2}$.
Предел справа: $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \sqrt{x+2} = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: предел слева равен 0, предел справа равен 1.

4) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2|x| & \text{при } x < -1 \\ x + 3 & \text{при } x > -1 \end{cases}$ и точка $a = -1$.
Для нахождения предела слева ($x \to -1^-$), мы используем выражение для $x < -1$, то есть $f(x) = x^2 - 2|x|$. Так как при $x \to -1^-$ переменная $x$ отрицательна, то $|x| = -x$.
Следовательно, $f(x) = x^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.
Предел слева: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x^2 + 2x) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Для нахождения предела справа ($x \to -1^+$), мы используем выражение для $x > -1$, то есть $f(x) = x + 3$.
Предел справа: $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x + 3) = -1 + 3 = 2$.
Ответ: предел слева равен -1, предел справа равен 2.