Номер 143, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Предел функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 143, страница 66.
№143 (с. 66)
Условие. №143 (с. 66)
скриншот условия

143. Используя определение предела, доказать, что:
1) $\lim_{x\to2} (x^2 - 4x + 6) = 2;$
2) $\lim_{x\to1} ((x-1)^4 + 3) = 3.$
Решение 1. №143 (с. 66)


Решение 2. №143 (с. 66)

Решение 3. №143 (с. 66)
1)
Для доказательства равенства $\lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 6) = 2$ воспользуемся определением предела функции по Коши (в терминах «эпсилон-дельта»). Согласно этому определению, для любого $\epsilon > 0$ необходимо найти такое $\delta > 0$, чтобы для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 2| < \delta$, выполнялось неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$.
В нашем случае $f(x) = x^2 - 4x + 6$, $L=2$, $a=2$.
Составим и преобразуем неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$:
$|(x^2 - 4x + 6) - 2| < \epsilon$
$|x^2 - 4x + 4| < \epsilon$
Выражение в модуле является полным квадратом разности:
$|(x - 2)^2| < \epsilon$
Поскольку $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно, модуль можно опустить:
$(x - 2)^2 < \epsilon$
Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем:
$\sqrt{(x-2)^2} < \sqrt{\epsilon}$
$|x - 2| < \sqrt{\epsilon}$
Мы видим, что если выбрать $\delta$ таким образом, чтобы оно было равно $\sqrt{\epsilon}$, то из условия $|x - 2| < \delta$ будет следовать требуемое неравенство.
Итак, формальное доказательство:Пусть задано произвольное $\epsilon > 0$. Выберем $\delta = \sqrt{\epsilon}$. Тогда для любого $x$, удовлетворяющего условию $0 < |x - 2| < \delta$, будет выполняться:
$|x - 2| < \sqrt{\epsilon}$
Возведем обе части в квадрат:
$(x - 2)^2 < \epsilon$
Это равносильно $|x^2 - 4x + 4| < \epsilon$, что в свою очередь равносильно $|(x^2 - 4x + 6) - 2| < \epsilon$.
Таким образом, мы показали, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta = \sqrt{\epsilon}$, такое, что из $0 < |x - 2| < \delta$ следует $|(x^2 - 4x + 6) - 2| < \epsilon$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
2)
Для доказательства равенства $\lim_{x \to 1} ((x - 1)^4 + 3) = 3$ воспользуемся определением предела функции по Коши. Для любого $\epsilon > 0$ необходимо найти такое $\delta > 0$, чтобы для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 1| < \delta$, выполнялось неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$.
В данном случае $f(x) = (x - 1)^4 + 3$, $L=3$, $a=1$.
Составим и преобразуем неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$:
$|((x - 1)^4 + 3) - 3| < \epsilon$
$|(x - 1)^4| < \epsilon$
Так как четвёртая степень любого действительного числа неотрицательна, $|(x - 1)^4| = (x - 1)^4$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 1)^4 < \epsilon$
Извлекая корень четвертой степени из обеих частей, получаем:
$\sqrt[4]{(x-1)^4} < \sqrt[4]{\epsilon}$
$|x - 1| < \sqrt[4]{\epsilon}$
Мы видим, что если выбрать $\delta = \sqrt[4]{\epsilon}$, то из условия $|x - 1| < \delta$ будет следовать требуемое неравенство.
Итак, формальное доказательство:Пусть задано произвольное $\epsilon > 0$. Выберем $\delta = \sqrt[4]{\epsilon}$. Тогда для любого $x$, удовлетворяющего условию $0 < |x - 1| < \delta$, имеем:
$|x - 1| < \sqrt[4]{\epsilon}$
Возведя обе части в четвертую степень, получаем:
$(x - 1)^4 < \epsilon$
Это равносильно $|(x-1)^4| < \epsilon$, что в свою очередь равносильно $|((x - 1)^4 + 3) - 3| < \epsilon$.
Таким образом, мы показали, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta = \sqrt[4]{\epsilon}$, такое, что из $0 < |x - 1| < \delta$ следует $|((x - 1)^4 + 3) - 3| < \epsilon$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 143 расположенного на странице 66 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №143 (с. 66), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.