Номер 143, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 2. Предел функции - номер 143, страница 66.

Условие.

143. Используя определение предела, доказать, что:

1) $\lim_{x\to2} (x^2 - 4x + 6) = 2;$

2) $\lim_{x\to1} ((x-1)^4 + 3) = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для доказательства равенства $\lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 6) = 2$ воспользуемся определением предела функции по Коши (в терминах «эпсилон-дельта»). Согласно этому определению, для любого $\epsilon > 0$ необходимо найти такое $\delta > 0$, чтобы для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 2| < \delta$, выполнялось неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$.

В нашем случае $f(x) = x^2 - 4x + 6$, $L=2$, $a=2$.

Составим и преобразуем неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$:

$|(x^2 - 4x + 6) - 2| < \epsilon$

$|x^2 - 4x + 4| < \epsilon$

Выражение в модуле является полным квадратом разности:

$|(x - 2)^2| < \epsilon$

Поскольку $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно, модуль можно опустить:

$(x - 2)^2 < \epsilon$

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем:

$\sqrt{(x-2)^2} < \sqrt{\epsilon}$

$|x - 2| < \sqrt{\epsilon}$

Мы видим, что если выбрать $\delta$ таким образом, чтобы оно было равно $\sqrt{\epsilon}$, то из условия $|x - 2| < \delta$ будет следовать требуемое неравенство.

Итак, формальное доказательство:Пусть задано произвольное $\epsilon > 0$. Выберем $\delta = \sqrt{\epsilon}$. Тогда для любого $x$, удовлетворяющего условию $0 < |x - 2| < \delta$, будет выполняться:

$|x - 2| < \sqrt{\epsilon}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x - 2)^2 < \epsilon$

Это равносильно $|x^2 - 4x + 4| < \epsilon$, что в свою очередь равносильно $|(x^2 - 4x + 6) - 2| < \epsilon$.

Таким образом, мы показали, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta = \sqrt{\epsilon}$, такое, что из $0 < |x - 2| < \delta$ следует $|(x^2 - 4x + 6) - 2| < \epsilon$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Для доказательства равенства $\lim_{x \to 1} ((x - 1)^4 + 3) = 3$ воспользуемся определением предела функции по Коши. Для любого $\epsilon > 0$ необходимо найти такое $\delta > 0$, чтобы для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 1| < \delta$, выполнялось неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$.

В данном случае $f(x) = (x - 1)^4 + 3$, $L=3$, $a=1$.

Составим и преобразуем неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$:

$|((x - 1)^4 + 3) - 3| < \epsilon$

$|(x - 1)^4| < \epsilon$

Так как четвёртая степень любого действительного числа неотрицательна, $|(x - 1)^4| = (x - 1)^4$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 1)^4 < \epsilon$

Извлекая корень четвертой степени из обеих частей, получаем:

$\sqrt[4]{(x-1)^4} < \sqrt[4]{\epsilon}$

$|x - 1| < \sqrt[4]{\epsilon}$

Мы видим, что если выбрать $\delta = \sqrt[4]{\epsilon}$, то из условия $|x - 1| < \delta$ будет следовать требуемое неравенство.

Итак, формальное доказательство:Пусть задано произвольное $\epsilon > 0$. Выберем $\delta = \sqrt[4]{\epsilon}$. Тогда для любого $x$, удовлетворяющего условию $0 < |x - 1| < \delta$, имеем:

$|x - 1| < \sqrt[4]{\epsilon}$

Возведя обе части в четвертую степень, получаем:

$(x - 1)^4 < \epsilon$

Это равносильно $|(x-1)^4| < \epsilon$, что в свою очередь равносильно $|((x - 1)^4 + 3) - 3| < \epsilon$.

Таким образом, мы показали, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta = \sqrt[4]{\epsilon}$, такое, что из $0 < |x - 1| < \delta$ следует $|((x - 1)^4 + 3) - 3| < \epsilon$.

Ответ: Что и требовалось доказать.