Номер 145, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Предел функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 145, страница 66.
№145 (с. 66)
Условие. №145 (с. 66)
скриншот условия

145. Найти горизонтальную асимптоту графика функции:
1) $f(x)=\frac{3x+2}{x}$;
2) $f(x)=\frac{5x-4}{x+1}$;
3) $f(x)=\frac{1-x}{3x+2}$.
Решение 1. №145 (с. 66)



Решение 2. №145 (с. 66)

Решение 3. №145 (с. 66)
Горизонтальная асимптота графика функции $y = f(x)$ — это прямая вида $y = k$, к которой график функции неограниченно приближается при стремлении аргумента $x$ к $+\infty$ или $-\infty$. Для нахождения горизонтальной асимптоты необходимо вычислить предел (или пределы) функции на бесконечности:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$
Если этот предел существует и является конечным числом, то прямая $y=k$ является горизонтальной асимптотой графика функции.
Для дробно-рациональных функций, представленных в задаче, степени многочленов в числителе и знаменателе равны. В этом случае предел на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$.
1) $f(x) = \frac{3x + 2}{x}$Для нахождения горизонтальной асимптоты найдем предел функции при $x \to \infty$. Для этого разделим каждый член числителя и знаменателя на $x$ (старшую степень переменной):
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{1}$
Поскольку при $x \to \infty$ значение выражения $\frac{2}{x}$ стремится к нулю, получаем:
$k = \frac{3 + 0}{1} = 3$
Таким образом, уравнение горизонтальной асимптоты: $y=3$.
Ответ: $y = 3$
2) $f(x) = \frac{5x - 4}{x + 1}$Аналогично найдем предел функции при $x \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на $x$:
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{5x - 4}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x}{x} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$
При $x \to \infty$ выражения $\frac{4}{x}$ и $\frac{1}{x}$ стремятся к нулю. Тогда:
$k = \frac{5 - 0}{1 + 0} = 5$
Горизонтальная асимптота задается уравнением $y=5$.
Ответ: $y = 5$
3) $f(x) = \frac{1 - x}{3x + 2}$Найдем предел функции при $x \to \infty$, разделив числитель и знаменатель на $x$:
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{3x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{3x}{x} + \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{3 + \frac{2}{x}}$
При $x \to \infty$ выражения $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю. Предел равен:
$k = \frac{0 - 1}{3 + 0} = -\frac{1}{3}$
Следовательно, горизонтальная асимптота — это прямая $y = -\frac{1}{3}$. Коэффициенты при старшей степени ($x^1$) в числителе равен -1, а в знаменателе — 3, их отношение дает тот же результат.
Ответ: $y = -\frac{1}{3}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 145 расположенного на странице 66 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №145 (с. 66), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.