Номер 145, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 2. Предел функции - номер 145, страница 66.

Условие.

145. Найти горизонтальную асимптоту графика функции:

1) $f(x)=\frac{3x+2}{x}$;

2) $f(x)=\frac{5x-4}{x+1}$;

3) $f(x)=\frac{1-x}{3x+2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Горизонтальная асимптота графика функции $y = f(x)$ — это прямая вида $y = k$, к которой график функции неограниченно приближается при стремлении аргумента $x$ к $+\infty$ или $-\infty$. Для нахождения горизонтальной асимптоты необходимо вычислить предел (или пределы) функции на бесконечности:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$

Если этот предел существует и является конечным числом, то прямая $y=k$ является горизонтальной асимптотой графика функции.

Для дробно-рациональных функций, представленных в задаче, степени многочленов в числителе и знаменателе равны. В этом случае предел на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$.

1) $f(x) = \frac{3x + 2}{x}$

Для нахождения горизонтальной асимптоты найдем предел функции при $x \to \infty$. Для этого разделим каждый член числителя и знаменателя на $x$ (старшую степень переменной):

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{1}$

Поскольку при $x \to \infty$ значение выражения $\frac{2}{x}$ стремится к нулю, получаем:

$k = \frac{3 + 0}{1} = 3$

Таким образом, уравнение горизонтальной асимптоты: $y=3$.

Ответ: $y = 3$

2) $f(x) = \frac{5x - 4}{x + 1}$

Аналогично найдем предел функции при $x \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{5x - 4}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x}{x} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$

При $x \to \infty$ выражения $\frac{4}{x}$ и $\frac{1}{x}$ стремятся к нулю. Тогда:

$k = \frac{5 - 0}{1 + 0} = 5$

Горизонтальная асимптота задается уравнением $y=5$.

Ответ: $y = 5$

3) $f(x) = \frac{1 - x}{3x + 2}$

Найдем предел функции при $x \to \infty$, разделив числитель и знаменатель на $x$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{3x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{3x}{x} + \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{3 + \frac{2}{x}}$

При $x \to \infty$ выражения $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю. Предел равен:

$k = \frac{0 - 1}{3 + 0} = -\frac{1}{3}$

Следовательно, горизонтальная асимптота — это прямая $y = -\frac{1}{3}$. Коэффициенты при старшей степени ($x^1$) в числителе равен -1, а в знаменателе — 3, их отношение дает тот же результат.

Ответ: $y = -\frac{1}{3}$