Номер 144, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 2. Предел функции - номер 144, страница 66.

Условие.

144. Найти вертикальные асимптоты графика функции:

1) $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$; 2) $f(x)=\frac{x+1}{2x+3}$;

3) $f(x)=\frac{1}{x^2+x-2}$; 4) $f(x)=\frac{1}{x^2-|x|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$

Вертикальные асимптоты графика функции могут существовать в точках разрыва функции. Для данной функции это точки, в которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем эти точки, приравняв знаменатель к нулю:

$x^2 - 4 = 0$

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Это точки возможного разрыва.

Чтобы определить, являются ли прямые $x=2$ и $x=-2$ вертикальными асимптотами, необходимо вычислить односторонние пределы функции при стремлении $x$ к этим точкам. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то прямая является вертикальной асимптотой.

Для точки $x = 2$:

$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{(+0) \cdot 4} = +\infty$

$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{(-0) \cdot 4} = -\infty$

Поскольку пределы бесконечны, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Для точки $x = -2$:

$\lim_{x \to -2^+} \frac{1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -2^+} \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{(-4) \cdot (+0)} = -\infty$

$\lim_{x \to -2^-} \frac{1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -2^-} \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{(-4) \cdot (-0)} = +\infty$

Поскольку пределы бесконечны, прямая $x=-2$ также является вертикальной асимптотой.

Ответ: $x=2$, $x=-2$.

2) $f(x) = \frac{x+1}{2x+3}$

Найдём точки, в которых знаменатель дроби равен нулю:

$2x + 3 = 0$

$2x = -3$

$x = -\frac{3}{2}$

Проверим значение числителя в этой точке: $x+1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$.

Поскольку при $x = -3/2$ знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю, в этой точке существует разрыв второго рода, и прямая $x = -3/2$ является вертикальной асимптотой. Убедимся в этом, вычислив односторонние пределы:

$\lim_{x \to -3/2^+} \frac{x+1}{2x+3} = \frac{-1/2}{+0} = -\infty$

$\lim_{x \to -3/2^-} \frac{x+1}{2x+3} = \frac{-1/2}{-0} = +\infty$

Пределы равны бесконечности, следовательно, $x = -3/2$ — вертикальная асимптота.

Ответ: $x = -3/2$.

3) $f(x) = \frac{1}{x^2 + x - 2}$

Найдём точки, в которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Это точки возможного разрыва. Разложим знаменатель на множители: $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$.

Числитель функции равен 1 (константа, не равная нулю), поэтому в точках $x=1$ и $x=-2$ будут вертикальные асимптоты. Проверим односторонние пределы.

Для точки $x = 1$:

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{(+0) \cdot 3} = +\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{(-0) \cdot 3} = -\infty$

Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Для точки $x = -2$:

$\lim_{x \to -2^+} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{(-3) \cdot (+0)} = -\infty$

$\lim_{x \to -2^-} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{(-3) \cdot (-0)} = +\infty$

Прямая $x=-2$ также является вертикальной асимптотой.

Ответ: $x=1$, $x=-2$.

4) $f(x) = \frac{1}{x^2 - |x|}$

Найдём точки, в которых знаменатель равен нулю:

$x^2 - |x| = 0$

Учитывая, что $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:

$|x|^2 - |x| = 0$

$|x|(|x| - 1) = 0$

Отсюда получаем:

$|x| = 0 \implies x = 0$

$|x| = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$

Получили три точки возможного разрыва: $x=0$, $x=1$ и $x=-1$. Числитель равен 1 (не равен нулю), поэтому все три прямые будут вертикальными асимптотами. Проверим пределы.

Для точки $x = 1$: в окрестности этой точки $x>0$, поэтому $|x|=x$.

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2 - |x|} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{1 \cdot (+0)} = +\infty$. Прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.

Для точки $x = -1$: в окрестности этой точки $x<0$, поэтому $|x|=-x$.

$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2 - |x|} = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2 + x} = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{(-1) \cdot (+0)} = -\infty$. Прямая $x=-1$ — вертикальная асимптота.

Для точки $x = 0$:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 - |x|} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|(|x|-1)}$

При $x \to 0$, выражение $|x| \to 0^+$, а $(|x|-1) \to -1$. Следовательно, знаменатель $|x|(|x|-1) \to (0^+) \cdot (-1) = 0^-$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 - |x|} = \frac{1}{0^-} = -\infty$.

Так как предел равен бесконечности, прямая $x=0$ также является вертикальной асимптотой.

Ответ: $x=1$, $x=-1$, $x=0$.