Номер 144, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Предел функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 144, страница 66.
№144 (с. 66)
Условие. №144 (с. 66)
скриншот условия

144. Найти вертикальные асимптоты графика функции:
1) $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$; 2) $f(x)=\frac{x+1}{2x+3}$;
3) $f(x)=\frac{1}{x^2+x-2}$; 4) $f(x)=\frac{1}{x^2-|x|}$.
Решение 1. №144 (с. 66)




Решение 2. №144 (с. 66)


Решение 3. №144 (с. 66)
1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$
Вертикальные асимптоты графика функции могут существовать в точках разрыва функции. Для данной функции это точки, в которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем эти точки, приравняв знаменатель к нулю:
$x^2 - 4 = 0$
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Это точки возможного разрыва.
Чтобы определить, являются ли прямые $x=2$ и $x=-2$ вертикальными асимптотами, необходимо вычислить односторонние пределы функции при стремлении $x$ к этим точкам. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то прямая является вертикальной асимптотой.
Для точки $x = 2$:
$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{(+0) \cdot 4} = +\infty$
$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{(-0) \cdot 4} = -\infty$
Поскольку пределы бесконечны, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.
Для точки $x = -2$:
$\lim_{x \to -2^+} \frac{1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -2^+} \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{(-4) \cdot (+0)} = -\infty$
$\lim_{x \to -2^-} \frac{1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -2^-} \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{(-4) \cdot (-0)} = +\infty$
Поскольку пределы бесконечны, прямая $x=-2$ также является вертикальной асимптотой.
Ответ: $x=2$, $x=-2$.
2) $f(x) = \frac{x+1}{2x+3}$
Найдём точки, в которых знаменатель дроби равен нулю:
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
Проверим значение числителя в этой точке: $x+1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
Поскольку при $x = -3/2$ знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю, в этой точке существует разрыв второго рода, и прямая $x = -3/2$ является вертикальной асимптотой. Убедимся в этом, вычислив односторонние пределы:
$\lim_{x \to -3/2^+} \frac{x+1}{2x+3} = \frac{-1/2}{+0} = -\infty$
$\lim_{x \to -3/2^-} \frac{x+1}{2x+3} = \frac{-1/2}{-0} = +\infty$
Пределы равны бесконечности, следовательно, $x = -3/2$ — вертикальная асимптота.
Ответ: $x = -3/2$.
3) $f(x) = \frac{1}{x^2 + x - 2}$
Найдём точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Это точки возможного разрыва. Разложим знаменатель на множители: $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$.
Числитель функции равен 1 (константа, не равная нулю), поэтому в точках $x=1$ и $x=-2$ будут вертикальные асимптоты. Проверим односторонние пределы.
Для точки $x = 1$:
$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{(+0) \cdot 3} = +\infty$
$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{(-0) \cdot 3} = -\infty$
Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
Для точки $x = -2$:
$\lim_{x \to -2^+} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{(-3) \cdot (+0)} = -\infty$
$\lim_{x \to -2^-} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{(-3) \cdot (-0)} = +\infty$
Прямая $x=-2$ также является вертикальной асимптотой.
Ответ: $x=1$, $x=-2$.
4) $f(x) = \frac{1}{x^2 - |x|}$
Найдём точки, в которых знаменатель равен нулю:
$x^2 - |x| = 0$
Учитывая, что $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:
$|x|^2 - |x| = 0$
$|x|(|x| - 1) = 0$
Отсюда получаем:
$|x| = 0 \implies x = 0$
$|x| = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$
Получили три точки возможного разрыва: $x=0$, $x=1$ и $x=-1$. Числитель равен 1 (не равен нулю), поэтому все три прямые будут вертикальными асимптотами. Проверим пределы.
Для точки $x = 1$: в окрестности этой точки $x>0$, поэтому $|x|=x$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2 - |x|} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{1 \cdot (+0)} = +\infty$. Прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.
Для точки $x = -1$: в окрестности этой точки $x<0$, поэтому $|x|=-x$.
$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2 - |x|} = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2 + x} = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{(-1) \cdot (+0)} = -\infty$. Прямая $x=-1$ — вертикальная асимптота.
Для точки $x = 0$:
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 - |x|} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|(|x|-1)}$
При $x \to 0$, выражение $|x| \to 0^+$, а $(|x|-1) \to -1$. Следовательно, знаменатель $|x|(|x|-1) \to (0^+) \cdot (-1) = 0^-$.
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 - |x|} = \frac{1}{0^-} = -\infty$.
Так как предел равен бесконечности, прямая $x=0$ также является вертикальной асимптотой.
Ответ: $x=1$, $x=-1$, $x=0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 144 расположенного на странице 66 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №144 (с. 66), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.