Номер 137, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 1. Предел последовательности - номер 137, страница 58.

Условие.

137. Доказать, что последовательность ${$x_n$}$ является ограниченной, если:

1) ${x_n = \sin \frac{\pi\sqrt{n}}{4}}$;

2) ${x_n = \frac{n+2}{n^2+4}}$;

3) ${x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Последовательность задана формулой $x_n = \sin\frac{\pi\sqrt{n}}{4}$.

Область значений функции синус, $y = \sin(t)$, представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$, значение функции $\sin(t)$ удовлетворяет неравенству $-1 \le \sin(t) \le 1$.

В данном случае, аргументом синуса является выражение $\frac{\pi\sqrt{n}}{4}$. Независимо от значения натурального числа $n$, значение $x_n$ всегда будет находиться в пределах от -1 до 1.

Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется двойное неравенство: $ -1 \le x_n \le 1$.

Это можно записать в виде $|x_n| \le 1$. По определению, последовательность является ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что $|x_n| \le M$ для всех $n$. В нашем случае можно взять $M=1$.

Следовательно, последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной.

Ответ: последовательность является ограниченной.

2) Последовательность задана формулой $x_n = \frac{n+2}{n^2+4}$.

Поскольку $n$ - натуральное число, $n \ge 1$. Тогда числитель $n+2 > 0$ и знаменатель $n^2+4 > 0$. Следовательно, все члены последовательности $x_n$ положительны, то есть $x_n > 0$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом 0.

Теперь найдем оценку сверху. Исследуем последовательность на монотонность. Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x+2}{x^2+4}$ при $x \ge 1$. Найдем ее производную:

$f'(x) = \frac{(x+2)'(x^2+4) - (x+2)(x^2+4)'}{(x^2+4)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+4) - (x+2) \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{x^2+4 - 2x^2-4x}{(x^2+4)^2} = \frac{-x^2-4x+4}{(x^2+4)^2}$.

Знак производной определяется знаком ее числителя, так как знаменатель $(x^2+4)^2$ всегда положителен. Исследуем знак числителя $g(x) = -x^2-4x+4$ при $x \ge 1$.

При $x=1$, $g(1) = -1-4+4 = -1 < 0$. Так как $g(x)$ — парабола с ветвями, направленными вниз, а ее положительный корень $x = -2+2\sqrt{2} \approx 0.828 < 1$, то для всех $x \ge 1$ выполняется $g(x) < 0$.

Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x \ge 1$, а значит, функция $f(x)$ является убывающей на этом промежутке. Тогда и последовательность $\{x_n\}$ является убывающей для всех $n \in \mathbb{N}$.

Наибольшее значение убывающая последовательность принимает при $n=1$.

$x_1 = \frac{1+2}{1^2+4} = \frac{3}{5}$.

Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется двойное неравенство: $0 < x_n \le \frac{3}{5}$.

Это означает, что последовательность ограничена. В качестве константы $M$, ограничивающей последовательность ($|x_n| \le M$), можно взять $\frac{3}{5}$.

Ответ: последовательность является ограниченной.

3) Последовательность задана формулой $x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$.

Эту сумму можно записать в виде $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$.

Сумма состоит из $n$ слагаемых. Поскольку $n \ge 1$, все слагаемые в сумме положительны. Чтобы доказать ограниченность, найдем для $x_n$ оценки сверху и снизу.

Оценка снизу:
Наименьшим слагаемым в сумме является последнее, так как у него самый большой знаменатель ($2n$). Каждое слагаемое $\frac{1}{n+k}$ (где $k \in \{1, \dots, n\}$) больше или равно $\frac{1}{2n}$.$x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} \ge \underbrace{\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + \dots + \frac{1}{2n}}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$.

Оценка сверху:
Наибольшим слагаемым в сумме является первое, так как у него самый маленький знаменатель ($n+1$). Каждое слагаемое $\frac{1}{n+k}$ меньше или равно $\frac{1}{n+1}$.$x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} < \underbrace{\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \dots + \frac{1}{n+1}}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.(Неравенство строгое, так как не все слагаемые равны $\frac{1}{n+1}$ при $n>1$).

Поскольку $\frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} < 1$, мы получаем, что $x_n < 1$.

Объединяя оценки, получаем, что для любого натурального $n$ выполняется двойное неравенство: $\frac{1}{2} \le x_n < 1$.

Это означает, что последовательность ограничена как снизу (числом $\frac{1}{2}$), так и сверху (числом 1). Следовательно, последовательность является ограниченной.

Ответ: последовательность является ограниченной.