Номер 5, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 5, страница 46.

Условие.

5. Исследовать функцию $y = \frac{1}{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ и построить её график.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Проведем полное исследование функции $y = \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$.

1. Область определения функции

Аргумент функции синуса, выражение $2x - \frac{\pi}{3}$, определен для любых действительных значений $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений функции

Значения функции синуса лежат в промежутке $[-1, 1]$:

$-1 \le \sin(2x - \frac{\pi}{3}) \le 1$

Умножим все части неравенства на $\frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-\frac{1}{2} + 1 \le \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 \le \frac{1}{2} + 1$

$\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.

3. Четность и нечетность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{1}{2}\sin(2(-x) - \frac{\pi}{3}) + 1 = \frac{1}{2}\sin(-2x - \frac{\pi}{3}) + 1 = -\frac{1}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Функция общего вида.

4. Периодичность

Функция является синусоидой вида $y = A\sin(kx+b)+C$. Ее период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=2$.

$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: Основной период функции $T=\pi$.

5. Нули функции и пересечение с осями координат

Нули функции (пересечение с осью Ox):

Приравняем функцию к нулю: $\frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 = 0$.

$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -2$.

Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin(\alpha)| \le 1$. Следовательно, график функции не пересекает ось $Ox$. Это согласуется с областью значений $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$.

Пересечение с осью Oy:

Найдем значение функции при $x=0$:

$y(0) = \frac{1}{2}\sin(0 - \frac{\pi}{3}) + 1 = \frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{3}) + 1 = -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3}) + 1 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, 1 - \frac{\sqrt{3}}{4})$.

Ответ: Нулей у функции нет. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, 1 - \frac{\sqrt{3}}{4})$.

6. Промежутки знакопостоянства

Так как область значений функции $E(y) = [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$, все значения функции положительны.

Ответ: $y > 0$ при всех $x \in (-\infty, +\infty)$.

7. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем производную функции:

$y' = (\frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1)' = \frac{1}{2}\cos(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

Определим характер экстремумов. Когда $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$, значение $\sin(2x - \frac{\pi}{3})$ равно $1$ или $-1$.

Если $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$ (это происходит при $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, т.е. $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$), то $y = \frac{1}{2}(1) + 1 = \frac{3}{2}$. Это точки максимума.

Если $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -1$ (это происходит при $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, т.е. $x = \frac{11\pi}{12} + \pi k$), то $y = \frac{1}{2}(-1) + 1 = \frac{1}{2}$. Это точки минимума.

Промежутки возрастания ($y' > 0$): $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) > 0$, что соответствует $-\frac{\pi}{12} + \pi k < x < \frac{5\pi}{12} + \pi k$.

Промежутки убывания ($y' < 0$): $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) < 0$, что соответствует $\frac{5\pi}{12} + \pi k < x < \frac{11\pi}{12} + \pi k$.

Ответ: Точки максимума: $(\frac{5\pi}{12} + \pi k, \frac{3}{2})$. Точки минимума: $(\frac{11\pi}{12} + \pi k, \frac{1}{2})$. Функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{12} + \pi k, \frac{5\pi}{12} + \pi k)$ и убывает на интервалах $(\frac{5\pi}{12} + \pi k, \frac{11\pi}{12} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

8. Построение графика

График функции $y = \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$ можно построить с помощью преобразований графика функции $y=\sin(x)$.

1. Базовый график: $y_1 = \sin(x)$.

2. Сжатие по оси Ox в 2 раза: $y_2 = \sin(2x)$. Период становится $T=\pi$.

3. Сдвиг по оси Ox вправо на $\frac{\pi}{6}$: $y_3 = \sin(2(x - \frac{\pi}{6})) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$.

4. Сжатие по оси Oy в 2 раза: $y_4 = \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3})$. Амплитуда становится $\frac{1}{2}$.

5. Сдвиг по оси Oy вверх на 1: $y = \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$. Средняя линия $y=1$.

Ключевые точки для одного периода:

- Точки на средней линии: $(\frac{\pi}{6}, 1)$, $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.

- Точка максимума: $(\frac{5\pi}{12}, \frac{3}{2})$.

- Точка минимума: $(\frac{11\pi}{12}, \frac{1}{2})$.

Построенный на основе этого исследования график представлен ниже.

Ответ: График функции — синусоида с амплитудой $\frac{1}{2}$, периодом $\pi$, сдвинутая по фазе на $\frac{\pi}{6}$ вправо и смещенная на 1 вверх.