Номер 4, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 4, страница 46.

Условие.

4. Расположить в порядке возрастания числа:

$\text{ctg} \frac{\pi}{3}$, $\text{ctg} \frac{7\pi}{8}$, $\text{ctg} \frac{5\pi}{7}$, $\text{ctg} 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, проанализируем каждое из них, определив их знаки и сравнив их величины.

1. Определение знаков чисел

Определим, в какой координатной четверти находится аргумент каждой функции, и, соответственно, знак самого числа. Для этого будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

• Для $ctg\frac{\pi}{3}$: Аргумент $\frac{\pi}{3}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. Котангенс в первой четверти положителен. Значит, $ctg\frac{\pi}{3} > 0$. Это табличное значение: $ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

• Для $ctg\frac{7\pi}{8}$: Аргумент $\frac{7\pi}{8}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8} < \frac{7\pi}{8} < \pi = \frac{8\pi}{8}$. Котангенс во второй четверти отрицателен. Значит, $ctg\frac{7\pi}{8} < 0$.

• Для $ctg\frac{5\pi}{7}$: Аргумент $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{3,5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \pi = \frac{7\pi}{7}$. Котангенс во второй четверти отрицателен. Значит, $ctg\frac{5\pi}{7} < 0$.

• Для $ctg2$: Аргумент 2 (радианы) находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Поскольку $1,57 < 2 < 3,14$, то $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$. Котангенс во второй четверти отрицателен. Значит, $ctg2 < 0$.

Из этого анализа следует, что $ctg\frac{\pi}{3}$ — единственное положительное число, а значит, оно будет самым большим в данном ряду. Остается сравнить между собой три отрицательных числа: $ctg\frac{7\pi}{8}$, $ctg\frac{5\pi}{7}$ и $ctg2$.

2. Сравнение отрицательных чисел

Для сравнения значений котангенса воспользуемся свойством функции $y=ctg(x)$. На интервале $(0, \pi)$ эта функция является строго убывающей. Это означает, что для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $ctg(x_1) > ctg(x_2)$.

Все три наших аргумента — $\frac{7\pi}{8}$, $\frac{5\pi}{7}$ и $2$ — принадлежат интервалу $(0, \pi)$. Сравним их между собой.

• Сравним $2$ и $\frac{5\pi}{7}$. Для этого сравним $14$ и $5\pi$. Используя $\pi > 3$, получаем $5\pi > 15$. Так как $14 < 15$, то $14 < 5\pi$, и, следовательно, $2 < \frac{5\pi}{7}$.

• Сравним $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$. Для этого сравним дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{8}$. Приведем их к общему знаменателю $56$: $\frac{5}{7} = \frac{40}{56}$ и $\frac{7}{8} = \frac{49}{56}$. Так как $\frac{40}{56} < \frac{49}{56}$, то $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$.

Таким образом, мы установили порядок для аргументов:

$2 < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$

Поскольку функция $y=ctg(x)$ убывает на интервале $(0, \pi)$, для значений котангенса будет выполняться обратное неравенство:

$ctg(2) > ctg(\frac{5\pi}{7}) > ctg(\frac{7\pi}{8})$

3. Итоговое расположение чисел

Мы выяснили, что $ctg\frac{7\pi}{8}$ — самое маленькое из отрицательных чисел, за ним следует $ctg\frac{5\pi}{7}$, а затем $ctg2$. Самым большим числом является положительное значение $ctg\frac{\pi}{3}$.

Располагая все числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем следующий ряд:

$ctg\frac{7\pi}{8}, ctg\frac{5\pi}{7}, ctg2, ctg\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $ctg\frac{7\pi}{8}, ctg\frac{5\pi}{7}, ctg2, ctg\frac{\pi}{3}$.