Номер 3, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 3, страница 46.

Условие.

3. С помощью графиков функций выяснить, сколько корней имеет уравнение $ \cos x = \lg x $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выяснить, сколько корней имеет уравнение $cos(x) = lg(x)$, необходимо найти, в скольких точках пересекаются графики функций $y = cos(x)$ и $y = lg(x)$. Проведем анализ этих функций и их графиков.

Анализ свойств функций

Функция $y = cos(x)$:
- Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
- Область значений — отрезок $[-1, 1]$.
- Функция периодическая с периодом $2\pi$.

Функция $y = lg(x)$ (десятичный логарифм):
- Область определения — все положительные действительные числа ($x > 0$).
- Область значений — все действительные числа.
- Функция является монотонно возрастающей.

Определение области поиска корней

Поскольку уравнение содержит $lg(x)$, его решения могут существовать только при $x > 0$.
Кроме того, левая часть уравнения, $cos(x)$, принимает значения только в пределах от -1 до 1. Это означает, что и правая часть, $lg(x)$, в точках-решениях должна лежать в том же диапазоне:
$-1 \le lg(x) \le 1$
Применяя потенцирование по основанию 10, находим соответствующий диапазон для $x$:
$10^{-1} \le x \le 10^1$
$0.1 \le x \le 10$
Таким образом, все возможные корни уравнения находятся на отрезке $[0.1, 10]$.

Графический анализ на отрезке $[0.1, 10]$

Рассмотрим поведение графиков на данном отрезке. Для анализа будем использовать ключевые точки функции $cos(x)$ и приближенные значения констант: $\pi \approx 3.14$, $2\pi \approx 6.28$, $3\pi \approx 9.42$.
1. На интервале $(0, 2\pi] \approx (0, 6.28]$ график $y = cos(x)$ совершает один полный цикл колебания.
- При $x=1$, имеем: $cos(1) \approx 0.54$, а $lg(1) = 0$. Так как $cos(1) > lg(1)$.
- При $x=\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, имеем: $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, а $lg(\frac{\pi}{2}) > lg(1) = 0$. Так как $cos(\frac{\pi}{2}) < lg(\frac{\pi}{2})$.
Поскольку на отрезке $[1, \frac{\pi}{2}]$ разность $cos(x) - lg(x)$ меняет знак с плюса на минус, и обе функции непрерывны, здесь находится первый корень.
- На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \approx (1.57, 4.71)$ функция $cos(x)$ отрицательна, а $lg(x)$ положительна, поэтому пересечений нет.
- На интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \approx (4.71, 6.28]$: при $x=\frac{3\pi}{2}$ имеем $cos(x)=0 < lg(x)$. При $x=2\pi$, имеем $cos(2\pi)=1$, а $lg(2\pi) \approx lg(6.28) < lg(10) = 1$. Таким образом, $cos(2\pi) > lg(2\pi)$. Разность $cos(x) - lg(x)$ снова меняет знак (с минуса на плюс), что указывает на наличие второго корня.
2. На интервале $(2\pi, 10] \approx (6.28, 10]$:
- При $x=2\pi$ имеем $cos(x) > lg(x)$.
- В следующей ключевой точке $x=\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$: $cos(\frac{5\pi}{2})=0$, а $lg(\frac{5\pi}{2}) > 0$. Значит, $cos(x) < lg(x)$. Смена знака разности означает, что на интервале $(2\pi, \frac{5\pi}{2})$ есть третий корень.
- На оставшейся части интервала $(\frac{5\pi}{2}, 10]$ функция $cos(x)$ отрицательна или равна нулю, а $lg(x)$ положительна, поэтому новых корней нет.
3. При $x > 10$, значение $lg(x)$ становится строго больше 1, в то время как $cos(x) \le 1$. Следовательно, равенство невозможно и других корней нет.

В итоге, мы обнаружили три точки пересечения графиков, следовательно, уравнение имеет три корня.
Ответ: 3