Номер 136, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 1. Предел последовательности - номер 136, страница 58.

Условие.

136. Найти предел последовательности $\{x_n\}$, если:

1) $x_n = \frac{n-1}{n};$

2) $x_n = \frac{2n^2-1}{n^2};$

3) $x_n = \frac{3n+4}{n};$

4) $x_n = \frac{n-3}{n+1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{n-1}{n}$ при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n} - \frac{1}{n}}{\frac{n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n}}{1}$

Так как при $n \to \infty$ член $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, получаем:

$\frac{1 - 0}{1} = 1$

Ответ: $1$

2) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{2n^2-1}{n^2}$ при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n^2}}{1}$

Так как при $n \to \infty$ член $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$, получаем:

$\frac{2 - 0}{1} = 2$

Ответ: $2$

3) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3n+4}{n}$ при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель на $n$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+4}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} + \frac{4}{n}}{\frac{n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{4}{n}}{1}$

Так как при $n \to \infty$ член $\frac{4}{n}$ стремится к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$, получаем:

$\frac{3 + 0}{1} = 3$

Ответ: $3$

4) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{n-3}{n+1}$ при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n-3}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n} - \frac{3}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$

Так как при $n \to \infty$ члены $\frac{3}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, получаем:

$\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

Ответ: $1$