Страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

134. Изобразить на числовой прямой несколько членов последовательности ${$x_n$}$ и выяснить, к какому числу они приближаются:

1) $x_n = \frac{1}{n}$;

2) $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$;

3) $x_n = \frac{n+1}{n}$;

4) $x_n = \frac{n-2}{n}$.

1) Для последовательности $x_n = \frac{1}{n}$ найдем несколько первых членов: $x_1 = \frac{1}{1} = 1$; $x_2 = \frac{1}{2} = 0.5$; $x_3 = \frac{1}{3}$; $x_4 = \frac{1}{4} = 0.25$; $x_5 = \frac{1}{5} = 0.2$. На числовой прямой все члены последовательности находятся в интервале $(0, 1]$ и с увеличением номера $n$ они становятся все ближе к нулю, приближаясь к нему справа. Чтобы выяснить, к какому числу они приближаются, найдем предел последовательности при $n \to \infty$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
Таким образом, члены последовательности приближаются к числу 0.
Ответ: 0.

2) Для последовательности $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$ найдем несколько первых членов: $x_1 = \frac{(-1)^1}{1} = -1$; $x_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2}$; $x_3 = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3}$; $x_4 = \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4}$; $x_5 = \frac{(-1)^5}{5} = -\frac{1}{5}$. На числовой прямой члены этой последовательности располагаются поочередно то слева, то справа от нуля. С ростом $n$ абсолютное значение членов $|x_n| = \frac{1}{n}$ уменьшается, и точки становятся все ближе к нулю. Найдем предел последовательности.
Поскольку $\lim_{n \to \infty} |x_n| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, то и предел самой последовательности равен нулю: $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.
Таким образом, члены последовательности приближаются к числу 0.
Ответ: 0.

3) Для последовательности $x_n = \frac{n+1}{n}$ найдем несколько первых членов: $x_1 = \frac{1+1}{1} = 2$; $x_2 = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$; $x_3 = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$; $x_4 = \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$. На числовой прямой все члены последовательности больше 1 и с ростом $n$ они убывают, приближаясь к 1 справа. Чтобы найти число, к которому они стремятся, преобразуем формулу и найдем предел.
$x_n = \frac{n+1}{n} = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1 + 0 = 1$.
Таким образом, члены последовательности приближаются к числу 1.
Ответ: 1.

4) Для последовательности $x_n = \frac{n-2}{n}$ найдем несколько первых членов: $x_1 = \frac{1-2}{1} = -1$; $x_2 = \frac{2-2}{2} = 0$; $x_3 = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$; $x_4 = \frac{4-2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$; $x_5 = \frac{5-2}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$. На числовой прямой $x_1=-1$, $x_2=0$, а все последующие члены находятся в интервале $(0, 1)$. С ростом $n$ (при $n>2$) члены последовательности возрастают, приближаясь к 1 слева. Найдем предел последовательности.
$x_n = \frac{n-2}{n} = \frac{n}{n} - \frac{2}{n} = 1 - \frac{2}{n}$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{n}) = 1 - 0 = 1$.
Таким образом, члены последовательности приближаются к числу 1.
Ответ: 1.

135. Исходя из определения предела последовательности, доказать, что $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$:

1) $x_n = \frac{1}{n+1}$;

2) $x_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$;

3) $x_n = \frac{1}{n^3}$;

4) $x_n = \frac{1}{2^n}$;

5) $x_n = \frac{1}{3n+2}$;

6) $x_n = \frac{n+1}{n^2}$.

1) Для последовательности $x_n = \frac{1}{n+1}$ докажем, что её предел равен 0.
Зафиксируем произвольное $\epsilon > 0$. Нам нужно найти такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться неравенство $|x_n - 0| < \epsilon$.
$|\frac{1}{n+1} - 0| = \frac{1}{n+1}$, так как $n \ge 1$.
Решим неравенство $\frac{1}{n+1} < \epsilon$ относительно $n$:
$n+1 > \frac{1}{\epsilon} \implies n > \frac{1}{\epsilon} - 1$.
Возьмём в качестве $N$ натуральное число, удовлетворяющее $N \ge \frac{1}{\epsilon} - 1$. Например, можно выбрать $N = \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor$. Тогда для любого $n > N$ будет выполняться $n > \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor \ge \frac{1}{\epsilon} - 1$, и, следовательно, $|\frac{1}{n+1}| < \epsilon$. Таким образом, существование $N$ для любого $\epsilon > 0$ доказано.
Ответ: Доказано.

2) Для последовательности $x_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$ докажем, что её предел равен 0.
Зафиксируем произвольное $\epsilon > 0$. Найдём такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|\frac{1}{\sqrt[3]{n}} - 0| < \epsilon$.
$|\frac{1}{\sqrt[3]{n}}| = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$, так как $n \ge 1$.
Решим неравенство $\frac{1}{\sqrt[3]{n}} < \epsilon$:
$\sqrt[3]{n} > \frac{1}{\epsilon} \implies n > \frac{1}{\epsilon^3}$.
Возьмём $N = \lfloor \frac{1}{\epsilon^3} \rfloor$. Тогда для любого $n > N$ будет выполняться $n > \lfloor \frac{1}{\epsilon^3} \rfloor$, а значит $n > \frac{1}{\epsilon^3}$, из чего следует, что $|\frac{1}{\sqrt[3]{n}}| < \epsilon$.
Ответ: Доказано.

3) Для последовательности $x_n = \frac{1}{n^3}$ докажем, что её предел равен 0.
Зафиксируем произвольное $\epsilon > 0$. Найдём такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|\frac{1}{n^3} - 0| < \epsilon$.
$|\frac{1}{n^3}| = \frac{1}{n^3}$, так как $n \ge 1$.
Решим неравенство $\frac{1}{n^3} < \epsilon$:
$n^3 > \frac{1}{\epsilon} \implies n > \sqrt[3]{\frac{1}{\epsilon}} = \frac{1}{\epsilon^{1/3}}$.
Возьмём $N = \lfloor \frac{1}{\epsilon^{1/3}} \rfloor$. Тогда для любого $n > N$ будет выполняться $n > \lfloor \frac{1}{\epsilon^{1/3}} \rfloor$, а значит $n > \frac{1}{\epsilon^{1/3}}$, из чего следует, что $|\frac{1}{n^3}| < \epsilon$.
Ответ: Доказано.

4) Для последовательности $x_n = \frac{1}{2^n}$ докажем, что её предел равен 0.
Зафиксируем произвольное $\epsilon > 0$. Найдём такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|\frac{1}{2^n} - 0| < \epsilon$, то есть $\frac{1}{2^n} < \epsilon$.
Воспользуемся неравенством Бернулли: для $n \ge 1$ справедливо $2^n = (1+1)^n \ge 1+n$.
Отсюда следует, что $\frac{1}{2^n} \le \frac{1}{n+1}$.
Поэтому для выполнения неравенства $\frac{1}{2^n} < \epsilon$ достаточно потребовать, чтобы выполнялось $\frac{1}{n+1} < \epsilon$.
Решая $\frac{1}{n+1} < \epsilon$, получаем $n > \frac{1}{\epsilon} - 1$.
Возьмём $N = \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor$. Тогда для любого $n > N$ будет верно $n > \frac{1}{\epsilon} - 1$, что влечет $\frac{1}{n+1} < \epsilon$. А так как $\frac{1}{2^n} \le \frac{1}{n+1}$, то и $\frac{1}{2^n} < \epsilon$.
Ответ: Доказано.

5) Для последовательности $x_n = \frac{1}{3n+2}$ докажем, что её предел равен 0.
Зафиксируем произвольное $\epsilon > 0$. Найдём такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|\frac{1}{3n+2} - 0| < \epsilon$, то есть $\frac{1}{3n+2} < \epsilon$.
Для $n \ge 1$ верно неравенство $3n+2 > 3n$, из которого следует $\frac{1}{3n+2} < \frac{1}{3n}$.
Поэтому для выполнения $\frac{1}{3n+2} < \epsilon$ достаточно, чтобы выполнялось $\frac{1}{3n} < \epsilon$.
Решая последнее неравенство, получаем $3n > \frac{1}{\epsilon}$, то есть $n > \frac{1}{3\epsilon}$.
Возьмём $N = \lfloor \frac{1}{3\epsilon} \rfloor$. Тогда для любого $n > N$ будет $n > \frac{1}{3\epsilon}$, что влечет $\frac{1}{3n} < \epsilon$. Так как $\frac{1}{3n+2} < \frac{1}{3n}$, то и $|\frac{1}{3n+2}| < \epsilon$.
Ответ: Доказано.

6) Для последовательности $x_n = \frac{n+1}{n^2}$ докажем, что её предел равен 0.
Зафиксируем произвольное $\epsilon > 0$. Найдём такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|\frac{n+1}{n^2} - 0| < \epsilon$, то есть $\frac{n+1}{n^2} < \epsilon$.
Оценим выражение сверху: $\frac{n+1}{n^2} = \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$.
Для $n \ge 1$ справедливо $n^2 \ge n$, откуда $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n}$.
Следовательно, $\frac{n+1}{n^2} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}$.
Для выполнения неравенства $\frac{n+1}{n^2} < \epsilon$ достаточно, чтобы выполнялось $\frac{2}{n} < \epsilon$.
Решая последнее неравенство, получаем $n > \frac{2}{\epsilon}$.
Возьмём $N = \lfloor \frac{2}{\epsilon} \rfloor$. Тогда для любого $n > N$ будет $n > \frac{2}{\epsilon}$, откуда $\frac{2}{n} < \epsilon$. Поскольку $|\frac{n+1}{n^2}| \le \frac{2}{n}$, то и $|\frac{n+1}{n^2}| < \epsilon$.
Ответ: Доказано.

136. Найти предел последовательности $\{x_n\}$, если:

1) $x_n = \frac{n-1}{n};$

2) $x_n = \frac{2n^2-1}{n^2};$

3) $x_n = \frac{3n+4}{n};$

4) $x_n = \frac{n-3}{n+1}.$

1) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{n-1}{n}$ при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n} - \frac{1}{n}}{\frac{n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n}}{1}$

Так как при $n \to \infty$ член $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, получаем:

$\frac{1 - 0}{1} = 1$

Ответ: $1$

2) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{2n^2-1}{n^2}$ при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n^2}}{1}$

Так как при $n \to \infty$ член $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$, получаем:

$\frac{2 - 0}{1} = 2$

Ответ: $2$

3) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3n+4}{n}$ при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель на $n$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+4}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} + \frac{4}{n}}{\frac{n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{4}{n}}{1}$

Так как при $n \to \infty$ член $\frac{4}{n}$ стремится к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$, получаем:

$\frac{3 + 0}{1} = 3$

Ответ: $3$

4) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{n-3}{n+1}$ при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n-3}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n} - \frac{3}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$

Так как при $n \to \infty$ члены $\frac{3}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, получаем:

$\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

Ответ: $1$

137. Доказать, что последовательность ${$x_n$}$ является ограниченной, если:

1) ${x_n = \sin \frac{\pi\sqrt{n}}{4}}$;

2) ${x_n = \frac{n+2}{n^2+4}}$;

3) ${x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n}}$.

1) Последовательность задана формулой $x_n = \sin\frac{\pi\sqrt{n}}{4}$.

Область значений функции синус, $y = \sin(t)$, представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$, значение функции $\sin(t)$ удовлетворяет неравенству $-1 \le \sin(t) \le 1$.

В данном случае, аргументом синуса является выражение $\frac{\pi\sqrt{n}}{4}$. Независимо от значения натурального числа $n$, значение $x_n$ всегда будет находиться в пределах от -1 до 1.

Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется двойное неравенство: $ -1 \le x_n \le 1$.

Это можно записать в виде $|x_n| \le 1$. По определению, последовательность является ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что $|x_n| \le M$ для всех $n$. В нашем случае можно взять $M=1$.

Следовательно, последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной.

Ответ: последовательность является ограниченной.

2) Последовательность задана формулой $x_n = \frac{n+2}{n^2+4}$.

Поскольку $n$ - натуральное число, $n \ge 1$. Тогда числитель $n+2 > 0$ и знаменатель $n^2+4 > 0$. Следовательно, все члены последовательности $x_n$ положительны, то есть $x_n > 0$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом 0.

Теперь найдем оценку сверху. Исследуем последовательность на монотонность. Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x+2}{x^2+4}$ при $x \ge 1$. Найдем ее производную:

$f'(x) = \frac{(x+2)'(x^2+4) - (x+2)(x^2+4)'}{(x^2+4)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+4) - (x+2) \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{x^2+4 - 2x^2-4x}{(x^2+4)^2} = \frac{-x^2-4x+4}{(x^2+4)^2}$.

Знак производной определяется знаком ее числителя, так как знаменатель $(x^2+4)^2$ всегда положителен. Исследуем знак числителя $g(x) = -x^2-4x+4$ при $x \ge 1$.

При $x=1$, $g(1) = -1-4+4 = -1 < 0$. Так как $g(x)$ — парабола с ветвями, направленными вниз, а ее положительный корень $x = -2+2\sqrt{2} \approx 0.828 < 1$, то для всех $x \ge 1$ выполняется $g(x) < 0$.

Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x \ge 1$, а значит, функция $f(x)$ является убывающей на этом промежутке. Тогда и последовательность $\{x_n\}$ является убывающей для всех $n \in \mathbb{N}$.

Наибольшее значение убывающая последовательность принимает при $n=1$.

$x_1 = \frac{1+2}{1^2+4} = \frac{3}{5}$.

Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется двойное неравенство: $0 < x_n \le \frac{3}{5}$.

Это означает, что последовательность ограничена. В качестве константы $M$, ограничивающей последовательность ($|x_n| \le M$), можно взять $\frac{3}{5}$.

Ответ: последовательность является ограниченной.

3) Последовательность задана формулой $x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$.

Эту сумму можно записать в виде $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$.

Сумма состоит из $n$ слагаемых. Поскольку $n \ge 1$, все слагаемые в сумме положительны. Чтобы доказать ограниченность, найдем для $x_n$ оценки сверху и снизу.

Оценка снизу:
Наименьшим слагаемым в сумме является последнее, так как у него самый большой знаменатель ($2n$). Каждое слагаемое $\frac{1}{n+k}$ (где $k \in \{1, \dots, n\}$) больше или равно $\frac{1}{2n}$.$x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} \ge \underbrace{\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + \dots + \frac{1}{2n}}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$.

Оценка сверху:
Наибольшим слагаемым в сумме является первое, так как у него самый маленький знаменатель ($n+1$). Каждое слагаемое $\frac{1}{n+k}$ меньше или равно $\frac{1}{n+1}$.$x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} < \underbrace{\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \dots + \frac{1}{n+1}}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.(Неравенство строгое, так как не все слагаемые равны $\frac{1}{n+1}$ при $n>1$).

Поскольку $\frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} < 1$, мы получаем, что $x_n < 1$.

Объединяя оценки, получаем, что для любого натурального $n$ выполняется двойное неравенство: $\frac{1}{2} \le x_n < 1$.

Это означает, что последовательность ограничена как снизу (числом $\frac{1}{2}$), так и сверху (числом 1). Следовательно, последовательность является ограниченной.

Ответ: последовательность является ограниченной.

Найти $\lim_{n \to \infty} x_n$ (138–139).

138. 1) $x_n = \frac{5n+2}{3n+4}$

2) $x_n = \frac{n^2-n+2}{3n^2+7}$

3) $x_n = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

4) $x_n = \frac{1+2+\dots+n}{n^2}$

5) $x_n = \sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}}$

6) $x_n = \sqrt{n^2-n+2} - n$

1) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{5n+2}{3n+4}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на $n$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{5n+2}{3n+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n}+\frac{2}{n}}{\frac{3n}{n}+\frac{4}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5+\frac{2}{n}}{3+\frac{4}{n}} $

Поскольку при $n \to \infty$ величины $\frac{2}{n}$ и $\frac{4}{n}$ стремятся к нулю, получаем:

$ \frac{5+0}{3+0} = \frac{5}{3} $

Ответ: $ \frac{5}{3} $

2) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{n^2-n+2}{3n^2+7}$.

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на $n^2$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n+2}{3n^2+7} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{3+\frac{7}{n^2}} $

При $n \to \infty$ величины $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n^2}$ и $\frac{7}{n^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$ \frac{1-0+0}{3+0} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

3) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$.

Это сумма членов ряда. Чтобы найти ее, представим общий член $a_k = \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ (для $k$ от 1 до $n$) в виде разности двух дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$ \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3} = \frac{A(2k+3)+B(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)} $

$ 1 = A(2k+3)+B(2k+1) $

При $k = -1/2$, $1 = A(-1+3) \Rightarrow A = 1/2$.

При $k = -3/2$, $1 = B(-3+1) \Rightarrow B = -1/2$.

Таким образом, $a_k = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)$.

Сумма $x_n$ является телескопической:

$ x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right) \right] $

Промежуточные члены взаимно уничтожаются, и остается:

$ x_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) $

Теперь найдем предел $x_n$ при $n \to \infty$:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $

4) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{1+2+\dots+n}{n^2}$.

Числитель представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. Подставим это выражение в $x_n$:

$ x_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{n(n+1)}{2n^2} = \frac{n^2+n}{2n^2} $

Найдем предел, разделив числитель и знаменатель на $n^2$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

5) Найдем предел последовательности $x_n = \sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}}$.

Поскольку функция квадратного корня является непрерывной, мы можем внести знак предела под корень:

$ \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} \frac{3n+5}{2n-1}} $

Найдем предел выражения под корнем, разделив числитель и знаменатель на $n$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3n+5}{2n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3+\frac{5}{n}}{2-\frac{1}{n}} = \frac{3+0}{2-0} = \frac{3}{2} $

Следовательно, исходный предел равен:

$ \sqrt{\frac{3}{2}} $

Ответ: $ \sqrt{\frac{3}{2}} $

6) Найдем предел последовательности $x_n = \sqrt{n^2-n+2}-n$.

Здесь мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $\sqrt{n^2-n+2}+n$:

$ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-n+2}-n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2-n+2}-n)(\sqrt{n^2-n+2}+n)}{\sqrt{n^2-n+2}+n} $

В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2-n+2)-n^2}{\sqrt{n^2-n+2}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-n+2}{\sqrt{n^2-n+2}+n} $

Теперь разделим числитель и знаменатель на $n$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-n+2}{n}}{\frac{\sqrt{n^2-n+2}+n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1+\frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{n^2-n+2}{n^2}}+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1+\frac{2}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+1} $

При $n \to \infty$ дроби $\frac{2}{n}$, $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n^2}$ стремятся к нулю:

$ \frac{-1+0}{\sqrt{1-0+0}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1}+1} = \frac{-1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

139. 1) $x_n = \sqrt[3]{\frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 - n + 2}}$;

2) $x_n = \frac{\sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 1}}{n}$;

3) $x_n = \sqrt{3n^2 + 4n + 1} - \sqrt{3n^2 - 2n + 5}$;

4) $x_n = \sqrt[3]{n^3 + 2n} - n$.

1) Для нахождения предела последовательности $x_n = \sqrt[3]{\frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2}}$ при $n \to \infty$, воспользуемся свойством непрерывности степенной функции. Это позволяет нам внести знак предела под корень:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2}} = \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2}}$

Теперь найдем предел дроби под корнем. Для этого разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}+\frac{3}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{4-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$

Поскольку при $n \to \infty$ слагаемые $\frac{2}{n}$, $\frac{3}{n^2}$, $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{1+0+0}{4-0+0} = \frac{1}{4}$

Подставим найденное значение предела обратно под знак кубического корня:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

2) Рассмотрим предел последовательности $x_n = \frac{\sqrt[3]{8n^3+2n^2+1}}{n}$. Для его вычисления разделим числитель и знаменатель на $n$. Чтобы разделить корень третьей степени на $n$, внесем $n$ под знак корня как $n^3$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8n^3+2n^2+1}}{n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{8n^3+2n^2+1}{n^3}}$

Разделим каждый член многочлена в числителе на $n^3$:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{8n^3}{n^3}+\frac{2n^2}{n^3}+\frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{8+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}$

При $n \to \infty$, слагаемые $\frac{2}{n}$ и $\frac{1}{n^3}$ стремятся к нулю. Предел выражения под корнем равен:

$\lim_{n \to \infty} (8+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}) = 8+0+0 = 8$

Следовательно, искомый предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt[3]{8} = 2$

Ответ: $2$

3) Нам нужно найти предел последовательности $x_n = \sqrt{3n^2+4n+1} - \sqrt{3n^2-2n+5}$. При $n \to \infty$ мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, домножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5}$:

$x_n = \frac{(\sqrt{3n^2+4n+1} - \sqrt{3n^2-2n+5})(\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5})}{\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5}}$

В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(3n^2+4n+1) - (3n^2-2n+5) = 3n^2+4n+1 - 3n^2+2n-5 = 6n-4$

Таким образом, выражение для $x_n$ принимает вид:

$x_n = \frac{6n-4}{\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5}}$

Теперь найдем предел этого выражения при $n \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n-4}{n}}{\frac{\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5}}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{6-\frac{4}{n}}{\sqrt{\frac{3n^2+4n+1}{n^2}} + \sqrt{\frac{3n^2-2n+5}{n^2}}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{6-\frac{4}{n}}{\sqrt{3+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}} + \sqrt{3-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}}$

При $n \to \infty$, все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю:

$\frac{6-0}{\sqrt{3+0+0} + \sqrt{3-0+0}} = \frac{6}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

4) Исходное выражение $x_n = \sqrt[3]{n^3+2n-n}$ скорее всего содержит опечатку, так как оно упрощается до $x_n = \sqrt[3]{n^3+n}$ и его предел очевидно равен бесконечности. Более типичной для данного типа задач является форма $x_n = \sqrt[3]{n^3+2n} - n$. Будем решать задачу в этой постановке. При $n \to \infty$ мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$.

Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, откуда $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$. Положим $a = \sqrt[3]{n^3+2n}$ и $b=n$.

$x_n = \sqrt[3]{n^3+2n} - n = \frac{(\sqrt[3]{n^3+2n})^3 - n^3}{(\sqrt[3]{n^3+2n})^2 + n\sqrt[3]{n^3+2n} + n^2}$

Упростим числитель:

$(n^3+2n) - n^3 = 2n$

Теперь выражение для $x_n$ выглядит так:

$x_n = \frac{2n}{(\sqrt[3]{n^3+2n})^2 + n\sqrt[3]{n^3+2n} + n^2}$

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$. В знаменателе старшая степень $n^2$ (т.к. $(\sqrt[3]{n^3})^2 = (n)^2 = n^2$ и $n\sqrt[3]{n^3} = n \cdot n = n^2$).

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n^2}}{\frac{(\sqrt[3]{n^3+2n})^2}{n^2} + \frac{n\sqrt[3]{n^3+2n}}{n^2} + \frac{n^2}{n^2}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}}{(\sqrt[3]{\frac{n^3+2n}{n^3}})^2 + \frac{\sqrt[3]{n^3+2n}}{n} + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}}{(\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}})^2 + \sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}} + 1}$

При $n \to \infty$ числитель $\frac{2}{n} \to 0$, а знаменатель стремится к:

$(\sqrt[3]{1+0})^2 + \sqrt[3]{1+0} + 1 = 1^2 + 1 + 1 = 3$

Таким образом, предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{0}{3} = 0$

Ответ: $0$

140. Найти $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_n a_{n+1}} \right)$, где $\{a_k\}$ — арифметическая прогрессия, все члены и разность $d$ которой отличны от нуля.

Для решения данной задачи мы имеем дело с пределом суммы, где знаменатели членов образованы последовательными членами арифметической прогрессии $\{a_k\}$. Обозначим частичную сумму этого ряда как $S_n$:

$S_n = \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна разности прогрессии $d$. То есть, $a_{k+1} - a_k = d$ для любого $k \ge 1$. По условию, $d \ne 0$.

Преобразуем общий член суммы $\frac{1}{a_k a_{k+1}}$. Для этого воспользуемся методом разложения на простейшие дроби. Мы можем заметить, что:

$\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} = \frac{a_{k+1} - a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac{d}{a_k a_{k+1}}$

Отсюда, разделив обе части на $d$ (которое не равно нулю), получим выражение для общего члена нашей суммы:

$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$

Теперь мы можем переписать всю сумму $S_n$, используя это преобразование. Это позволит нам представить сумму в виде так называемого телескопического ряда:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$

Распишем члены этой суммы:

$S_n = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) + \left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3} \right) + \left( \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) \right]$

Как видно, все промежуточные члены взаимно уничтожаются (например, $-\frac{1}{a_2}$ и $+\frac{1}{a_2}$, $-\frac{1}{a_3}$ и $+\frac{1}{a_3}$, и так далее). В результате остаются только первый и последний члены:

$S_n = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$

Теперь найдем предел этой суммы при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$

Для этого нам нужно найти предел члена $\frac{1}{a_{n+1}}$. Член арифметической прогрессии $a_{n+1}$ выражается формулой $a_{n+1} = a_1 + n \cdot d$.Поскольку по условию $d \ne 0$, при $n \to \infty$ величина $a_{n+1}$ стремится к бесконечности ($+\infty$, если $d>0$, и $-\infty$, если $d<0$). В любом случае, $|a_{n+1}| \to \infty$.Следовательно, предел обратной величины равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n+1}} = 0$

Подставляя это значение в выражение для предела суммы, получаем:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - 0 \right) = \frac{1}{a_1 d}$

Ответ: $\frac{1}{a_1 d}$