Номер 138, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Предел последовательности. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 138, страница 58.
№138 (с. 58)
Условие. №138 (с. 58)
скриншот условия

Найти $\lim_{n \to \infty} x_n$ (138–139).
138. 1) $x_n = \frac{5n+2}{3n+4}$
2) $x_n = \frac{n^2-n+2}{3n^2+7}$
3) $x_n = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
4) $x_n = \frac{1+2+\dots+n}{n^2}$
5) $x_n = \sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}}$
6) $x_n = \sqrt{n^2-n+2} - n$
Решение 1. №138 (с. 58)






Решение 2. №138 (с. 58)



Решение 3. №138 (с. 58)
1) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{5n+2}{3n+4}$.
Для нахождения предела при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на $n$:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{5n+2}{3n+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n}+\frac{2}{n}}{\frac{3n}{n}+\frac{4}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5+\frac{2}{n}}{3+\frac{4}{n}} $
Поскольку при $n \to \infty$ величины $\frac{2}{n}$ и $\frac{4}{n}$ стремятся к нулю, получаем:
$ \frac{5+0}{3+0} = \frac{5}{3} $
Ответ: $ \frac{5}{3} $
2) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{n^2-n+2}{3n^2+7}$.
Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на $n^2$:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n+2}{3n^2+7} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{3+\frac{7}{n^2}} $
При $n \to \infty$ величины $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n^2}$ и $\frac{7}{n^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:
$ \frac{1-0+0}{3+0} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $
3) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$.
Это сумма членов ряда. Чтобы найти ее, представим общий член $a_k = \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ (для $k$ от 1 до $n$) в виде разности двух дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов:
$ \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3} = \frac{A(2k+3)+B(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)} $
$ 1 = A(2k+3)+B(2k+1) $
При $k = -1/2$, $1 = A(-1+3) \Rightarrow A = 1/2$.
При $k = -3/2$, $1 = B(-3+1) \Rightarrow B = -1/2$.
Таким образом, $a_k = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)$.
Сумма $x_n$ является телескопической:
$ x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right) \right] $
Промежуточные члены взаимно уничтожаются, и остается:
$ x_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) $
Теперь найдем предел $x_n$ при $n \to \infty$:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{6} $
Ответ: $ \frac{1}{6} $
4) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{1+2+\dots+n}{n^2}$.
Числитель представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. Подставим это выражение в $x_n$:
$ x_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{n(n+1)}{2n^2} = \frac{n^2+n}{2n^2} $
Найдем предел, разделив числитель и знаменатель на $n^2$:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $
5) Найдем предел последовательности $x_n = \sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}}$.
Поскольку функция квадратного корня является непрерывной, мы можем внести знак предела под корень:
$ \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} \frac{3n+5}{2n-1}} $
Найдем предел выражения под корнем, разделив числитель и знаменатель на $n$:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{3n+5}{2n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3+\frac{5}{n}}{2-\frac{1}{n}} = \frac{3+0}{2-0} = \frac{3}{2} $
Следовательно, исходный предел равен:
$ \sqrt{\frac{3}{2}} $
Ответ: $ \sqrt{\frac{3}{2}} $
6) Найдем предел последовательности $x_n = \sqrt{n^2-n+2}-n$.
Здесь мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $\sqrt{n^2-n+2}+n$:
$ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-n+2}-n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2-n+2}-n)(\sqrt{n^2-n+2}+n)}{\sqrt{n^2-n+2}+n} $
В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2-n+2)-n^2}{\sqrt{n^2-n+2}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-n+2}{\sqrt{n^2-n+2}+n} $
Теперь разделим числитель и знаменатель на $n$:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-n+2}{n}}{\frac{\sqrt{n^2-n+2}+n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1+\frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{n^2-n+2}{n^2}}+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1+\frac{2}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+1} $
При $n \to \infty$ дроби $\frac{2}{n}$, $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n^2}$ стремятся к нулю:
$ \frac{-1+0}{\sqrt{1-0+0}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1}+1} = \frac{-1}{2} $
Ответ: $ -\frac{1}{2} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 138 расположенного на странице 58 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №138 (с. 58), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.