Номер 138, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 1. Предел последовательности - номер 138, страница 58.

Условие.

Найти $\lim_{n \to \infty} x_n$ (138–139).

138. 1) $x_n = \frac{5n+2}{3n+4}$

2) $x_n = \frac{n^2-n+2}{3n^2+7}$

3) $x_n = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

4) $x_n = \frac{1+2+\dots+n}{n^2}$

5) $x_n = \sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}}$

6) $x_n = \sqrt{n^2-n+2} - n$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{5n+2}{3n+4}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$ разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на $n$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{5n+2}{3n+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n}+\frac{2}{n}}{\frac{3n}{n}+\frac{4}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5+\frac{2}{n}}{3+\frac{4}{n}} $

Поскольку при $n \to \infty$ величины $\frac{2}{n}$ и $\frac{4}{n}$ стремятся к нулю, получаем:

$ \frac{5+0}{3+0} = \frac{5}{3} $

Ответ: $ \frac{5}{3} $

2) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{n^2-n+2}{3n^2+7}$.

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на $n^2$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n+2}{3n^2+7} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{3+\frac{7}{n^2}} $

При $n \to \infty$ величины $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n^2}$ и $\frac{7}{n^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$ \frac{1-0+0}{3+0} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

3) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$.

Это сумма членов ряда. Чтобы найти ее, представим общий член $a_k = \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ (для $k$ от 1 до $n$) в виде разности двух дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$ \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3} = \frac{A(2k+3)+B(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)} $

$ 1 = A(2k+3)+B(2k+1) $

При $k = -1/2$, $1 = A(-1+3) \Rightarrow A = 1/2$.

При $k = -3/2$, $1 = B(-3+1) \Rightarrow B = -1/2$.

Таким образом, $a_k = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)$.

Сумма $x_n$ является телескопической:

$ x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right) \right] $

Промежуточные члены взаимно уничтожаются, и остается:

$ x_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) $

Теперь найдем предел $x_n$ при $n \to \infty$:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $

4) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{1+2+\dots+n}{n^2}$.

Числитель представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. Подставим это выражение в $x_n$:

$ x_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{n(n+1)}{2n^2} = \frac{n^2+n}{2n^2} $

Найдем предел, разделив числитель и знаменатель на $n^2$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

5) Найдем предел последовательности $x_n = \sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}}$.

Поскольку функция квадратного корня является непрерывной, мы можем внести знак предела под корень:

$ \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} \frac{3n+5}{2n-1}} $

Найдем предел выражения под корнем, разделив числитель и знаменатель на $n$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3n+5}{2n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3+\frac{5}{n}}{2-\frac{1}{n}} = \frac{3+0}{2-0} = \frac{3}{2} $

Следовательно, исходный предел равен:

$ \sqrt{\frac{3}{2}} $

Ответ: $ \sqrt{\frac{3}{2}} $

6) Найдем предел последовательности $x_n = \sqrt{n^2-n+2}-n$.

Здесь мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $\sqrt{n^2-n+2}+n$:

$ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-n+2}-n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2-n+2}-n)(\sqrt{n^2-n+2}+n)}{\sqrt{n^2-n+2}+n} $

В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2-n+2)-n^2}{\sqrt{n^2-n+2}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-n+2}{\sqrt{n^2-n+2}+n} $

Теперь разделим числитель и знаменатель на $n$:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-n+2}{n}}{\frac{\sqrt{n^2-n+2}+n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1+\frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{n^2-n+2}{n^2}}+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1+\frac{2}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+1} $

При $n \to \infty$ дроби $\frac{2}{n}$, $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n^2}$ стремятся к нулю:

$ \frac{-1+0}{\sqrt{1-0+0}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1}+1} = \frac{-1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $