Номер 4, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 4, страница 46.
№4 (с. 46)
Условие. №4 (с. 46)
скриншот условия

4. Найти множество значений функции $y = \sin^2 x + 2\cos 2x$.
Решение 1. №4 (с. 46)

Решение 2. №4 (с. 46)

Решение 3. №4 (с. 46)
Для того чтобы найти множество значений функции $y = \sin^2 x + 2\cos 2x$, необходимо привести данное выражение к функции от одной переменной. Мы можем выразить все слагаемые через одну тригонометрическую функцию, например, через $\sin^2 x$ или $\cos 2x$.
Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Подставим это выражение в исходное уравнение функции:
$y = \sin^2 x + 2(1 - 2\sin^2 x)$
Теперь раскроем скобки и упростим выражение:
$y = \sin^2 x + 2 - 4\sin^2 x$
$y = 2 - 3\sin^2 x$
Мы получили функцию, зависящую только от $\sin^2 x$. Чтобы найти ее множество значений, введем новую переменную. Пусть $t = \sin^2 x$.
Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$.
Когда мы возводим в квадрат значения из этого отрезка, мы получаем значения в отрезке $[0, 1]$. Таким образом, для нашей переменной $t$ справедливо неравенство:
$0 \le t \le 1$
Подставив $t$ в наше упрощенное выражение для $y$, получим линейную функцию:
$y(t) = 2 - 3t$, где $t \in [0, 1]$.
Так как эта функция является линейной с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-3$), она убывает на всей своей области определения. Следовательно, свое наибольшее значение она принимает в начальной точке отрезка $[0, 1]$, а наименьшее — в конечной.
Найдем максимальное значение функции, подставив $t=0$:
$y_{max} = 2 - 3 \cdot 0 = 2$
Найдем минимальное значение функции, подставив $t=1$:
$y_{min} = 2 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1$
Таким образом, множество значений функции $y$ — это отрезок от $-1$ до $2$.
Ответ: $E(y) = [-1; 2]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 46 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 46), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.