Номер 4, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Проверь себя! - номер 4, страница 46.

Условие.

4. Найти множество значений функции $y = \sin^2 x + 2\cos 2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти множество значений функции $y = \sin^2 x + 2\cos 2x$, необходимо привести данное выражение к функции от одной переменной. Мы можем выразить все слагаемые через одну тригонометрическую функцию, например, через $\sin^2 x$ или $\cos 2x$.

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Подставим это выражение в исходное уравнение функции:

$y = \sin^2 x + 2(1 - 2\sin^2 x)$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$y = \sin^2 x + 2 - 4\sin^2 x$

$y = 2 - 3\sin^2 x$

Мы получили функцию, зависящую только от $\sin^2 x$. Чтобы найти ее множество значений, введем новую переменную. Пусть $t = \sin^2 x$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$.

Когда мы возводим в квадрат значения из этого отрезка, мы получаем значения в отрезке $[0, 1]$. Таким образом, для нашей переменной $t$ справедливо неравенство:

$0 \le t \le 1$

Подставив $t$ в наше упрощенное выражение для $y$, получим линейную функцию:

$y(t) = 2 - 3t$, где $t \in [0, 1]$.

Так как эта функция является линейной с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-3$), она убывает на всей своей области определения. Следовательно, свое наибольшее значение она принимает в начальной точке отрезка $[0, 1]$, а наименьшее — в конечной.

Найдем максимальное значение функции, подставив $t=0$:

$y_{max} = 2 - 3 \cdot 0 = 2$

Найдем минимальное значение функции, подставив $t=1$:

$y_{min} = 2 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1$

Таким образом, множество значений функции $y$ — это отрезок от $-1$ до $2$.

Ответ: $E(y) = [-1; 2]$.