Номер 1, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Проверь себя! - номер 1, страница 45.

Условие.

1. Найти область определения функции $y = \text{tg } 2x$. Является ли эта функция чётной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Найти область определения функции y = tg 2x

Функция тангенса $y = \tan(\alpha)$ определяется как отношение синуса к косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Она определена для всех значений аргумента $\alpha$, при которых знаменатель $\cos(\alpha)$ не равен нулю.

В нашем случае дана функция $y = \tan(2x)$. Её аргумент равен $2x$. Следовательно, функция не определена в тех точках $x$, где $\cos(2x) = 0$.

Решим тригонометрическое уравнение:

$\cos(2x) = 0$

Это уравнение справедливо, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Эти значения $x$ необходимо исключить из области определения функции. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением указанных точек.

Ответ: Область определения функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых выполняется условие $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Является ли эта функция чётной?

Чтобы определить чётность функции, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции должна быть симметричной относительно точки $x=0$. Это означает, что если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также должен принадлежать ей. Как мы нашли выше, точки $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ исключаются. Если $x_0 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ — исключенная точка, то $-x_0 = -(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} - \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(-1-2k)}{2}$. Так как $k$ — целое, то $-1-2k$ также является целым числом. Это означает, что если $x_0$ исключается, то и $-x_0$ исключается. Область определения симметрична.
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $y(-x) = y(x)$ (для чётной функции)
   • $y(-x) = -y(x)$ (для нечётной функции)

Проверим нашу функцию $y(x) = \tan(2x)$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \tan(2(-x)) = \tan(-2x)$

Воспользуемся свойством нечётности функции тангенса: $\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$.

$\tan(-2x) = -\tan(2x)$

Таким образом, мы получили, что $y(-x) = -y(x)$. Это определение нечётной функции.

Так как функция является нечётной, она не может быть чётной (кроме тривиального случая $y(x)=0$, который не является нашим).

Ответ: Нет, данная функция не является чётной. Она является нечётной.