Номер 6, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 6, страница 45.

Условие.

6. Назвать промежутки возрастания каждой из функций $y = \sin x$, $y = \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно найти ее производную и определить интервалы, на которых эта производная неотрицательна. Функция $f(x)$ считается возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$. Это условие эквивалентно тому, что производная функции $f'(x) \ge 0$ на данном промежутке.

y = sin x

1. Найдем производную функции $y = \sin x$:
$y' = (\sin x)' = \cos x$.

2. Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна. Решим неравенство:
$\cos x \ge 0$.

Известно, что косинус является положительным в первой и четвертой координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Так как функция $y = \cos x$ периодическая с периодом $2\pi$, то общее решение неравенства, а следовательно, и все промежутки возрастания функции $y = \sin x$, можно записать в виде:
$[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: промежутки возрастания функции $y = \sin x$ имеют вид $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

y = cos x

1. Найдем производную функции $y = \cos x$:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна. Решим неравенство:
$-\sin x \ge 0$,
что равносильно неравенству:
$\sin x \le 0$.

Известно, что синус является отрицательным в третьей и четвертой координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует промежутку $[\pi, 2\pi]$ или, что то же самое, $[-\pi, 0]$.

Так как функция $y = \sin x$ периодическая с периодом $2\pi$, то общее решение неравенства, а следовательно, и все промежутки возрастания функции $y = \cos x$, можно записать в виде:
$[-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания функции $y = \cos x$ имеют вид $[-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.