Номер 2, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 2, страница 45.

Условие.

2. Назвать область определения каждой из функций

$y = \operatorname{tg} x, y = \operatorname{ctg} x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

$y = \operatorname{tg} x$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение для функции имеет смысл. Функция тангенса определяется через отношение синуса и косинуса: $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Поэтому для функции $y = \operatorname{tg} x$ должно выполняться условие $\cos x \neq 0$.

Решим уравнение $\cos x = 0$. Его корнями являются значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, из множества всех действительных чисел нужно исключить эти точки. Таким образом, область определения функции $y = \operatorname{tg} x$ — это все действительные числа, за исключением чисел вида $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$y = \operatorname{ctg} x$

Функция котангенса определяется как отношение косинуса к синусу: $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Аналогично тангенсу, это выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Для функции $y = \operatorname{ctg} x$ должно выполняться условие $\sin x \neq 0$.

Решим уравнение $\sin x = 0$. Его корнями являются значения $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, область определения функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, за исключением чисел вида $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.