Номер 9, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы к главе I - номер 9, страница 45.

Условие.

9. Назвать область определения каждой из функций

$y = \arcsin x, y = \arccos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

y = arcsin x

Областью определения функции называется множество всех допустимых значений ее аргумента $x$. Функция $y = \arcsin x$ по определению является обратной к функции $x = \sin y$, где $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции. Множество значений функции синус, $E(\sin y)$, — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $y$ значение $\sin y$ находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно. Следовательно, аргумент $x$ функции $y = \arcsin x$ может принимать только значения из этого отрезка. Таким образом, область определения функции $y = \arcsin x$ задается двойным неравенством: $-1 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

y = arccos x

Аналогично, функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $x = \cos y$, где $y \in [0, \pi]$. Область определения функции арккосинус совпадает с множеством значений функции косинус. Множество значений функции косинус, $E(\cos y)$, также является отрезком $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $y$ значение $\cos y$ находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно. Следовательно, аргумент $x$ функции $y = \arccos x$ может принимать только значения из этого отрезка. Таким образом, область определения функции $y = \arccos x$ задается двойным неравенством: $-1 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.