Номер 10, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 10, страница 45.

Условие.

10. Назвать множество значений каждой из функций $y = \text{arctg } x$, $y = \text{arcctg } x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

$y = \operatorname{arctg} x$

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс) является обратной к функции тангенса ($y = \operatorname{tg} x$) на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

По определению, арктангенс числа $x$ — это угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

Область определения арктангенса — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, значение $\operatorname{arctg} x$ изменяется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ (не включая концы интервала).

Следовательно, множество значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

$y = \operatorname{arcctg} x$

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) является обратной к функции котангенса ($y = \operatorname{ctg} x$) на интервале $(0; \pi)$.

По определению, арккотангенс числа $x$ — это угол $y$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $x$.

Область определения арккотангенса — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Когда $x$ изменяется от $+\infty$ до $-\infty$, значение $\operatorname{arcctg} x$ изменяется от $0$ до $\pi$ (не включая концы интервала).

Следовательно, множество значений функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это интервал $(0; \pi)$.

Ответ: $(0; \pi)$.