Номер 3, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы к главе I - номер 3, страница 45.

Условие.

3. Какая из функций $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tg x$, $y = \ctg x$ является чётной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы определить, какая из функций является чётной, необходимо проверить для каждой из них выполнение основного свойства чётной функции. Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство:

$f(-x) = f(x)$

Также область определения чётной функции должна быть симметрична относительно точки $x=0$. Проверим каждую из предложенных функций.

y = sin x

Пусть $f(x) = \sin x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, симметрична. Проверим свойство чётности:

$f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция $y = \sin x$ является нечётной.

Ответ: нечётная.

y = cos x

Пусть $f(x) = \cos x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, симметрична. Проверим свойство чётности:

$f(-x) = \cos(-x) = \cos x = f(x)$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция $y = \cos x$ является чётной.

Ответ: чётная.

y = tg x

Пусть $f(x) = \text{tg } x$. Область определения $D(f)$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля. Проверим свойство чётности:

$f(-x) = \text{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\text{tg } x = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция $y = \text{tg } x$ является нечётной.

Ответ: нечётная.

y = ctg x

Пусть $f(x) = \text{ctg } x$. Область определения $D(f)$: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля. Проверим свойство чётности:

$f(-x) = \text{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\text{ctg } x = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция $y = \text{ctg } x$ является нечётной.

Ответ: нечётная.

Таким образом, из всех перечисленных функций только одна является чётной — это $y = \cos x$.