Номер 131, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Упражнения к главе I - номер 131, страница 44.

Условие.

131. Найти множество значений функции:

1) $y=12\sin x - 5\cos x$;

2) $y=\cos^2 x - \sin x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для нахождения множества значений функции $y = 12\sin x - 5\cos x$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражения вида $a\sin x + b\cos x$ можно преобразовать к виду $C\sin(x+\phi)$ или $C\cos(x+\psi)$.

Вынесем за скобки множитель $C = \sqrt{a^2 + b^2}$. В данном случае $a=12$, $b=-5$.

$C = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде:

$y = 13 \left(\frac{12}{13}\sin x - \frac{5}{13}\cos x\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{12}{13}$ и $\sin \phi = \frac{5}{13}$. Такой угол существует, так как выполняется основное тригонометрическое тождество: $(\frac{12}{13})^2 + (\frac{5}{13})^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1$.

Подставим эти значения в выражение для $y$:

$y = 13(\cos \phi \sin x - \sin \phi \cos x)$.

Используя формулу синуса разности $\sin(x - \phi) = \sin x \cos \phi - \cos x \sin \phi$, получаем:

$y = 13\sin(x - \phi)$.

Множество значений функции синус, то есть $\sin(x-\phi)$, является отрезком $[-1, 1]$.

Следовательно, множество значений исходной функции $y$ равно $[-1 \cdot 13, 1 \cdot 13]$, то есть $[-13, 13]$.

Ответ: $E(y) = [-13, 13]$.

2)

Дана функция $y = \cos^2 x - \sin x$.

Для нахождения множества значений преобразуем функцию так, чтобы она зависела только от одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$y = (1 - \sin^2 x) - \sin x = -\sin^2 x - \sin x + 1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку множество значений функции $\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то переменная $t$ принимает значения из этого же отрезка: $t \in [-1, 1]$.

Функция принимает вид квадратичной зависимости от $t$:

$y(t) = -t^2 - t + 1$.

Теперь задача сводится к нахождению множества значений этой квадратичной функции на отрезке $[-1, 1]$. Графиком функции $y(t)$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицателен (равен -1).

Наибольшее значение параболы с ветвями вниз достигается в ее вершине. Найдем координату вершины $t_v$ по формуле $t_v = -\frac{b}{2a}$:

$t_v = -\frac{-1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$.

Так как $t_v = -1/2$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то максимальное значение функции на этом отрезке будет в вершине:

$y_{max} = y(-1/2) = -(-1/2)^2 - (-1/2) + 1 = -1/4 + 1/2 + 1 = 1/4 + 1 = 5/4$.

Наименьшее значение на отрезке $[-1, 1]$ будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(-1) = -(-1)^2 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1$.

$y(1) = -(1)^2 - (1) + 1 = -1 - 1 + 1 = -1$.

Сравнивая значения $y(-1)$ и $y(1)$, видим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-1$.

Таким образом, множество значений функции $y(t)$ на отрезке $t \in [-1, 1]$ есть отрезок $[-1, 5/4]$. Это и есть множество значений исходной функции.

Ответ: $E(y) = [-1, 5/4]$.