Номер 124, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 124, страница 44.

Условие.

124. Выяснить, является ли чётной или нечётной функция:

1) $y = \sin x + \operatorname{tg} x;$

2) $y = \sin x \operatorname{tg} x;$

3) $y = \sin x |\cos x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения чётности или нечётности функции $y(x)$ необходимо проверить её область определения на симметричность относительно нуля и найти значение $y(-x)$.
- Если $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.
- Если $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
- Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

1) $y = \sin x + \tg x$

Пусть $y(x) = \sin x + \tg x$.Область определения функции $D(y)$ задаётся условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Эта область определения симметрична относительно начала координат (если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).Найдём значение функции в точке $-x$:$y(-x) = \sin(-x) + \tg(-x)$

Так как синус и тангенс — нечётные функции, то $\sin(-x) = -\sin x$ и $\tg(-x) = -\tg x$.Подставим эти выражения в формулу:$y(-x) = (-\sin x) + (-\tg x) = -(\sin x + \tg x) = -y(x)$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, данная функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

2) $y = \sin x \tg x$

Пусть $y(x) = \sin x \tg x$.Область определения такая же, как и в предыдущем пункте: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Она симметрична относительно нуля.Найдём значение функции в точке $-x$:$y(-x) = \sin(-x) \tg(-x)$

Используем свойства нечётности синуса и тангенса:$y(-x) = (-\sin x) \cdot (-\tg x) = \sin x \tg x = y(x)$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, данная функция является чётной. (Также можно отметить, что произведение двух нечётных функций является чётной функцией).

Ответ: чётная функция.

3) $y = \sin x |\cos x|$

Пусть $y(x) = \sin x |\cos x|$.Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа ($R$), так как $\sin x$ и $|\cos x|$ определены для любого $x$. Область определения симметрична относительно нуля.Найдём значение функции в точке $-x$:$y(-x) = \sin(-x) |\cos(-x)|$

Используем свойства функций: $\sin x$ — нечётная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), a $\cos x$ — чётная функция ($\cos(-x) = \cos x$). Модуль чётной функции также является чётной функцией, поэтому $|\cos(-x)| = |\cos x|$.Подставим эти выражения:$y(-x) = (-\sin x) \cdot |\cos x| = -(\sin x |\cos x|) = -y(x)$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, данная функция является нечётной. (Также можно отметить, что произведение нечётной функции на чётную является нечётной функцией).

Ответ: нечётная функция.