Номер 119, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 119, страница 43.

Условие.

119. С помощью графиков функций найти число корней уравнения:

1) $\cos x = x^2$;

2) $\sin x = \frac{x}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти число корней уравнения, нужно определить количество точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

1) $\cos x = x^2$

Рассмотрим две функции: $y = \cos x$ и $y = x^2$. Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.

1. $y = \cos x$ — это косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$. Её значения лежат в диапазоне от -1 до 1. Функция является четной, её график симметричен относительно оси Oy.

2. $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Функция также является четной, её график симметричен относительно оси Oy.

Так как обе функции четные, то если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также будет корнем. Это означает, что количество положительных корней равно количеству отрицательных корней. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как $\cos 0 = 1$, а $0^2 = 0$, и $1 \neq 0$.

Будем искать положительные корни. Пересечение возможно только при условии, что значения обеих функций совпадают. Так как область значений функции $y=\cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то нас интересуют только те значения $x$, для которых $y=x^2$ также находится в этом диапазоне. Условие $x^2 \le 1$ выполняется для $x \in [-1, 1]$. Кроме того, $x^2 \ge 0$, поэтому пересечение возможно только там, где $\cos x \ge 0$. Для положительных $x$ это интервалы $[0, \pi/2]$, $[3\pi/2, 5\pi/2]$ и т.д.

Таким образом, мы ищем положительные корни на интервале $(0, 1]$.

Рассмотрим поведение функций на этом интервале:

• При $x \to 0$ справа, $\cos x \to 1$, а $x^2 \to 0$. Значит, $\cos x > x^2$.
• В точке $x=1$, $\cos 1 \approx 0,54$, а $1^2=1$. Значит, $\cos 1 < 1^2$.

Так как обе функции непрерывны, а в начале интервала $(0, 1]$ функция $\cos x$ больше, чем $x^2$, а в конце — меньше, то на этом интервале должна быть как минимум одна точка пересечения. Чтобы доказать, что она единственная, рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - x^2$. Ее производная $f'(x) = -\sin x - 2x$. Для всех $x \in (0, 1]$ имеем $\sin x > 0$ и $2x > 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на этом интервале, а значит, она может пересечь ось Ox (т.е. принять значение 0) не более одного раза. Итак, на интервале $(0, \infty)$ есть ровно один корень. В силу симметрии графиков относительно оси Oy, существует также ровно один отрицательный корень.

Итого, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

2) $\sin x = \frac{x}{2}$

Рассмотрим две функции: $y = \sin x$ и $y = \frac{x}{2}$. Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.

1. $y = \sin x$ — это синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$. Её значения лежат в диапазоне от -1 до 1. Функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.

2. $y = \frac{x}{2}$ — это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $\frac{1}{2}$. Функция также является нечетной.

Сразу видно, что $x=0$ является корнем уравнения, так как $\sin 0 = 0$ и $\frac{0}{2} = 0$. Это первая точка пересечения — начало координат.

Так как обе функции нечетные, то если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также будет корнем. Поэтому достаточно найти количество положительных корней, умножить его на 2 и прибавить 1 (корень $x=0$).

Будем искать положительные корни. Пересечение возможно только при условии, что значения функции $y=\frac{x}{2}$ не выходят за пределы области значений функции $y = \sin x$, то есть $|\frac{x}{2}| \le 1$, что равносильно $|x| \le 2$. Таким образом, все возможные положительные корни лежат на интервале $(0, 2]$.

Рассмотрим поведение функций для $x>0$:

• При $x \to 0$ справа, производная $(\sin x)'$ равна $\cos 0 = 1$, а производная $(\frac{x}{2})'$ равна $\frac{1}{2}$. Так как $1 > \frac{1}{2}$, то вблизи нуля график $y=\sin x$ лежит выше графика $y=\frac{x}{2}$.
• В точке $x=2$, $y=\sin 2 \approx 0,91$, а $y=\frac{2}{2}=1$. Здесь график синуса уже ниже прямой.

Так как функции непрерывны, и в начале интервала $(0, 2]$ синусоида выше прямой, а в конце — ниже, то на этом интервале должна быть как минимум одна точка пересечения. Проанализируем функцию $g(x) = \sin x - \frac{x}{2}$ и ее производную $g'(x) = \cos x - \frac{1}{2}$. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $\cos x = \frac{1}{2}$. На интервале $(0, 2]$ это происходит в точке $x = \frac{\pi}{3} \approx 1,047$. На интервале $(0, \frac{\pi}{3})$ производная $g'(x) > 0$, функция $g(x)$ возрастает. На интервале $(\frac{\pi}{3}, 2]$ производная $g'(x) < 0$, функция $g(x)$ убывает. Значит, в точке $x = \frac{\pi}{3}$ функция $g(x)$ имеет максимум. $g(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi/3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \approx 0.866 - 0.524 = 0.342 > 0$. Так как функция $g(x)$ возрастает от $g(0)=0$ до положительного максимума, а затем убывает (причем $g(2) = \sin 2 - 1 < 0$), она пересекает ось Ox ровно один раз на интервале $(0, 2]$. Для $x > 2$ имеем $\frac{x}{2} > 1$, в то время как $\sin x \le 1$, поэтому других положительных корней нет. Итак, существует ровно один положительный корень.

В силу симметрии, существует также ровно один отрицательный корень. Вместе с корнем $x=0$, получаем $1+1+1=3$ корня.

Ответ: 3