Номер 116, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Упражнения к главе I - номер 116, страница 43.

Условие.

116. С помощью графиков функций $y = \operatorname{tg}x$ и $y = \operatorname{ctg}x$ найти все такие значения $x$ из заданного промежутка, при которых справедливо неравенство:

1) $ \operatorname{tg}x \le \sqrt{3}, [-\pi; \pi]; $

2) $ \operatorname{ctg}x \le 1, (-\pi; \frac{3\pi}{2}]; $

3) $ \operatorname{ctg}x \ge -1, [-\frac{\pi}{2}; 2\pi); $

4) $ \operatorname{tg}x \ge -\sqrt{3}, (-\frac{3\pi}{2}; \pi]. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения неравенств воспользуемся графиками функций $y = \text{tg}\,x$ и $y = \text{ctg}\,x$, а также графиками соответствующих постоянных функций (горизонтальных линий). Решение неравенства сводится к нахождению таких значений $x$ из заданного промежутка, для которых график одной функции расположен выше (или ниже) графика другой функции.

1) $\text{tg}\,x \le \sqrt{3}$, $[-\pi; \pi]$

Рассмотрим функции $y = \text{tg}\,x$ и $y = \sqrt{3}$ на промежутке $[-\pi; \pi]$.
1. Сначала найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $\text{tg}\,x = \sqrt{3}$. Общее решение: $x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выберем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$:
- при $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.
- при $n=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.
3. Функция $y = \text{tg}\,x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. На заданном промежутке это точки $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$. Эти точки являются вертикальными асимптотами графика.
4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \text{tg}\,x$ находится не выше прямой $y = \sqrt{3}$.
Разобьем отрезок $[-\pi; \pi]$ на интервалы с учетом асимптот: $[-\pi; -\frac{\pi}{2})$, $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}; \pi]$.
- На интервале $[-\pi; -\frac{\pi}{2})$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $\text{tg}(-\pi)=0$ до $+\infty$. Неравенство $\text{tg}\,x \le \sqrt{3}$ выполняется на отрезке от начала интервала до точки пересечения $x = -\frac{2\pi}{3}$. Таким образом, получаем промежуток $[-\pi; -\frac{2\pi}{3}]$.
- На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Неравенство выполняется от начала интервала до точки пересечения $x = \frac{\pi}{3}$. Получаем промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3}]$.
- На интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $\text{tg}(\pi)=0$. Все значения функции на этом интервале меньше или равны 0, следовательно, они меньше $\sqrt{3}$. Таким образом, весь этот интервал является решением: $(\frac{\pi}{2}; \pi]$.
5. Объединяя полученные промежутки, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [-\pi; -\frac{2\pi}{3}] \cup (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3}] \cup (\frac{\pi}{2}; \pi]$.

2) $\text{ctg}\,x \le 1$, $(-\pi; \frac{3\pi}{2}]$

Рассмотрим функции $y = \text{ctg}\,x$ и $y = 1$ на промежутке $(-\pi; \frac{3\pi}{2}]$.
1. Найдем точки пересечения, решив уравнение $\text{ctg}\,x = 1$. Общее решение: $x = \text{arcctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выберем корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{3\pi}{2}]$:
- при $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$.
- при $n=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.
- при $n=-1$, $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.
3. Функция $y = \text{ctg}\,x$ не определена в точках $x = \pi n$. На заданном промежутке это точки $x=0$ и $x=\pi$. Это вертикальные асимптоты.
4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \text{ctg}\,x$ находится не выше прямой $y=1$.
Разобьем промежуток $(-\pi; \frac{3\pi}{2}]$ на интервалы с учетом асимптот: $(-\pi; 0)$, $(0; \pi)$, $(\pi; \frac{3\pi}{2}]$.
- На интервале $(-\pi; 0)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Неравенство $\text{ctg}\,x \le 1$ выполняется от точки пересечения $x = -\frac{3\pi}{4}$ до конца интервала (до асимптоты). Получаем промежуток $[-\frac{3\pi}{4}; 0)$.
- На интервале $(0; \pi)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Неравенство выполняется от точки пересечения $x = \frac{\pi}{4}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[\frac{\pi}{4}; \pi)$.
- На интервале $(\pi; \frac{3\pi}{2}]$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $\text{ctg}(\frac{3\pi}{2})=0$. Неравенство выполняется от точки пересечения $x = \frac{5\pi}{4}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}]$.
5. Объединяем найденные промежутки.
Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{4}; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi) \cup [\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}]$.

3) $\text{ctg}\,x \ge -1$, $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$

Рассмотрим функции $y = \text{ctg}\,x$ и $y = -1$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$.
1. Найдем точки пересечения, решив уравнение $\text{ctg}\,x = -1$. Общее решение: $x = \text{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выберем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$:
- при $n=0$, $x = \frac{3\pi}{4}$.
- при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$.
- при $n=-1$, $x = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$.
3. Вертикальные асимптоты функции $y = \text{ctg}\,x$ на заданном промежутке: $x=0$ и $x=\pi$.
4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \text{ctg}\,x$ находится не ниже прямой $y=-1$.
Разобьем промежуток $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$ на интервалы: $[-\frac{\pi}{2}; 0)$, $(0; \pi)$, $(\pi; 2\pi)$.
- На интервале $[-\frac{\pi}{2}; 0)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $\text{ctg}(-\frac{\pi}{2})=0$ до $-\infty$. Неравенство $\text{ctg}\,x \ge -1$ выполняется от начала интервала до точки пересечения $x = -\frac{\pi}{4}$. Получаем промежуток $[-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$.
- На интервале $(0; \pi)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Неравенство выполняется от начала интервала до точки пересечения $x = \frac{3\pi}{4}$. Получаем промежуток $(0; \frac{3\pi}{4}]$.
- На интервале $(\pi; 2\pi)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Неравенство выполняется от начала интервала до точки пересечения $x = \frac{7\pi}{4}$. Получаем промежуток $(\pi; \frac{7\pi}{4}]$.
5. Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}] \cup (0; \frac{3\pi}{4}] \cup (\pi; \frac{7\pi}{4}]$.

4) $\text{tg}\,x \ge -\sqrt{3}$, $(-\frac{3\pi}{2}; \pi]$

Рассмотрим функции $y = \text{tg}\,x$ и $y = -\sqrt{3}$ на промежутке $(-\frac{3\pi}{2}; \pi]$.
1. Найдем точки пересечения, решив уравнение $\text{tg}\,x = -\sqrt{3}$. Общее решение: $x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выберем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{3\pi}{2}; \pi]$:
- при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$.
- при $n=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.
- при $n=-1$, $x = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}$.
3. Вертикальные асимптоты функции $y = \text{tg}\,x$ на заданном промежутке: $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.
4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \text{tg}\,x$ находится не ниже прямой $y=-\sqrt{3}$.
Разобьем промежуток $(-\frac{3\pi}{2}; \pi]$ на интервалы: $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$, $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}; \pi]$.
- На интервале $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Неравенство $\text{tg}\,x \ge -\sqrt{3}$ выполняется от точки пересечения $x = -\frac{4\pi}{3}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2})$.
- На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Неравенство выполняется от точки пересечения $x = -\frac{\pi}{3}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2})$.
- На интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $\text{tg}(\pi)=0$. Неравенство выполняется от точки пересечения $x = \frac{2\pi}{3}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[\frac{2\pi}{3}; \pi]$.
5. Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in [-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}) \cup [-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{2\pi}{3}; \pi]$.