Номер 123, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 123, страница 44.

Условие.

123. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \cos^4 x - \sin^4 x$;

2) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = 1 - 2|\sin 3x|$;

4) $y = \sin^2 x - 2\cos^2 x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $y = \cos^4 x - \sin^4 x$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2 x$ и $b = \sin^2 x$.
$y = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Подставив эти тождества в выражение, получаем:
$y = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x)$.
Область значений функции косинус, $E(\cos t)$, равна отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, наибольшее значение функции $y$ равно 1 (достигается, когда $\cos(2x) = 1$), а наименьшее значение равно -1 (достигается, когда $\cos(2x) = -1$).
Ответ: Наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -1.

2) Для функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4}) \sin(x - \frac{\pi}{4})$ используем формулу произведения синусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
В нашем случае $\alpha = x + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{4}$.
Тогда $\alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$ и $\alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4}) = 2x$.
Подставляем в формулу:
$y = \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(2x))$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, выражение упрощается до:
$y = \frac{1}{2}(0 - \cos(2x)) = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.
Мы знаем, что $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Умножим неравенство на $-\frac{1}{2}$, изменив знаки неравенства на противоположные:
$-\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2}\cos(2x) \le -\frac{1}{2} \cdot (-1)$, что дает $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$.
Ответ: Наибольшее значение: $\frac{1}{2}$, наименьшее значение: $-\frac{1}{2}$.

3) Рассмотрим функцию $y = 1 - 2|\sin 3x|$.
Найдем область значений выражения $|\sin 3x|$. Функция синус принимает значения от -1 до 1: $-1 \le \sin 3x \le 1$.
Модуль этой величины будет принимать значения от 0 до 1: $0 \le |\sin 3x| \le 1$.
Теперь выполним преобразования с этим неравенством, чтобы получить функцию $y$.
1. Умножим на -2 (знаки неравенства меняются): $0 \ge -2|\sin 3x| \ge -2$, или $-2 \le -2|\sin 3x| \le 0$.
2. Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $1 - 2 \le 1 - 2|\sin 3x| \le 1 + 0$.
Получаем $-1 \le y \le 1$.
Наибольшее значение равно 1 (когда $|\sin 3x|=0$), а наименьшее значение равно -1 (когда $|\sin 3x|=1$).
Ответ: Наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -1.

4) Для функции $y = \sin^2 x - 2\cos^2 x$ используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Выразим одну из функций через другую. Например, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим в исходное уравнение:
$y = (1 - \cos^2 x) - 2\cos^2 x = 1 - 3\cos^2 x$.
Теперь найдем область значений полученной функции.
Мы знаем, что $0 \le \cos^2 x \le 1$.
1. Умножим неравенство на -3 (знаки неравенства меняются): $0 \ge -3\cos^2 x \ge -3$, или $-3 \le -3\cos^2 x \le 0$.
2. Прибавим 1 ко всем частям: $1 - 3 \le 1 - 3\cos^2 x \le 1 + 0$.
Получаем $-2 \le y \le 1$.
Наибольшее значение равно 1 (когда $\cos^2 x = 0$), а наименьшее значение равно -2 (когда $\cos^2 x = 1$).
Ответ: Наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -2.