Страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

123. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \cos^4 x - \sin^4 x$;

2) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = 1 - 2|\sin 3x|$;

4) $y = \sin^2 x - 2\cos^2 x$.

1) Для функции $y = \cos^4 x - \sin^4 x$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2 x$ и $b = \sin^2 x$.
$y = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Подставив эти тождества в выражение, получаем:
$y = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x)$.
Область значений функции косинус, $E(\cos t)$, равна отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, наибольшее значение функции $y$ равно 1 (достигается, когда $\cos(2x) = 1$), а наименьшее значение равно -1 (достигается, когда $\cos(2x) = -1$).
Ответ: Наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -1.

2) Для функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4}) \sin(x - \frac{\pi}{4})$ используем формулу произведения синусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
В нашем случае $\alpha = x + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{4}$.
Тогда $\alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$ и $\alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4}) = 2x$.
Подставляем в формулу:
$y = \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(2x))$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, выражение упрощается до:
$y = \frac{1}{2}(0 - \cos(2x)) = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.
Мы знаем, что $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Умножим неравенство на $-\frac{1}{2}$, изменив знаки неравенства на противоположные:
$-\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2}\cos(2x) \le -\frac{1}{2} \cdot (-1)$, что дает $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$.
Ответ: Наибольшее значение: $\frac{1}{2}$, наименьшее значение: $-\frac{1}{2}$.

3) Рассмотрим функцию $y = 1 - 2|\sin 3x|$.
Найдем область значений выражения $|\sin 3x|$. Функция синус принимает значения от -1 до 1: $-1 \le \sin 3x \le 1$.
Модуль этой величины будет принимать значения от 0 до 1: $0 \le |\sin 3x| \le 1$.
Теперь выполним преобразования с этим неравенством, чтобы получить функцию $y$.
1. Умножим на -2 (знаки неравенства меняются): $0 \ge -2|\sin 3x| \ge -2$, или $-2 \le -2|\sin 3x| \le 0$.
2. Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $1 - 2 \le 1 - 2|\sin 3x| \le 1 + 0$.
Получаем $-1 \le y \le 1$.
Наибольшее значение равно 1 (когда $|\sin 3x|=0$), а наименьшее значение равно -1 (когда $|\sin 3x|=1$).
Ответ: Наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -1.

4) Для функции $y = \sin^2 x - 2\cos^2 x$ используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Выразим одну из функций через другую. Например, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим в исходное уравнение:
$y = (1 - \cos^2 x) - 2\cos^2 x = 1 - 3\cos^2 x$.
Теперь найдем область значений полученной функции.
Мы знаем, что $0 \le \cos^2 x \le 1$.
1. Умножим неравенство на -3 (знаки неравенства меняются): $0 \ge -3\cos^2 x \ge -3$, или $-3 \le -3\cos^2 x \le 0$.
2. Прибавим 1 ко всем частям: $1 - 3 \le 1 - 3\cos^2 x \le 1 + 0$.
Получаем $-2 \le y \le 1$.
Наибольшее значение равно 1 (когда $\cos^2 x = 0$), а наименьшее значение равно -2 (когда $\cos^2 x = 1$).
Ответ: Наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -2.

124. Выяснить, является ли чётной или нечётной функция:

1) $y = \sin x + \operatorname{tg} x;$

2) $y = \sin x \operatorname{tg} x;$

3) $y = \sin x |\cos x|.$

Для определения чётности или нечётности функции $y(x)$ необходимо проверить её область определения на симметричность относительно нуля и найти значение $y(-x)$.
- Если $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.
- Если $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
- Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

1) $y = \sin x + \tg x$

Пусть $y(x) = \sin x + \tg x$.Область определения функции $D(y)$ задаётся условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Эта область определения симметрична относительно начала координат (если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).Найдём значение функции в точке $-x$:$y(-x) = \sin(-x) + \tg(-x)$

Так как синус и тангенс — нечётные функции, то $\sin(-x) = -\sin x$ и $\tg(-x) = -\tg x$.Подставим эти выражения в формулу:$y(-x) = (-\sin x) + (-\tg x) = -(\sin x + \tg x) = -y(x)$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, данная функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

2) $y = \sin x \tg x$

Пусть $y(x) = \sin x \tg x$.Область определения такая же, как и в предыдущем пункте: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Она симметрична относительно нуля.Найдём значение функции в точке $-x$:$y(-x) = \sin(-x) \tg(-x)$

Используем свойства нечётности синуса и тангенса:$y(-x) = (-\sin x) \cdot (-\tg x) = \sin x \tg x = y(x)$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, данная функция является чётной. (Также можно отметить, что произведение двух нечётных функций является чётной функцией).

Ответ: чётная функция.

3) $y = \sin x |\cos x|$

Пусть $y(x) = \sin x |\cos x|$.Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа ($R$), так как $\sin x$ и $|\cos x|$ определены для любого $x$. Область определения симметрична относительно нуля.Найдём значение функции в точке $-x$:$y(-x) = \sin(-x) |\cos(-x)|$

Используем свойства функций: $\sin x$ — нечётная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), a $\cos x$ — чётная функция ($\cos(-x) = \cos x$). Модуль чётной функции также является чётной функцией, поэтому $|\cos(-x)| = |\cos x|$.Подставим эти выражения:$y(-x) = (-\sin x) \cdot |\cos x| = -(\sin x |\cos x|) = -y(x)$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, данная функция является нечётной. (Также можно отметить, что произведение нечётной функции на чётную является нечётной функцией).

Ответ: нечётная функция.

125. Найти наименьший положительный период функции:

1) $y = 2\sin(2x + 1);$

2) $y = 3\tan \frac{1}{4}(x + 1).$

1) Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = A\sin(kx + b)$ используется общая формула $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — это наименьший положительный период основной (базовой) функции, а $k$ — коэффициент при переменной $x$.

В данном случае базовая функция — это $y = \sin(x)$. Ее наименьший положительный период составляет $T_0 = 2\pi$.

В нашей функции $y = 2\sin(2x + 1)$ коэффициент при $x$ равен $k = 2$. Коэффициент $A=2$ (амплитуда) и сдвиг по фазе, определяемый слагаемым $1$, не влияют на величину периода.

Подставим известные значения в формулу для нахождения периода:
$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$

2) Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = A\tan(kx + b)$ применяется та же формула: $T = \frac{T_0}{|k|}$.

Базовой функцией здесь является $y = \tan(x)$. Ее наименьший положительный период равен $T_0 = \pi$.

В нашей функции $y = 3\tan\frac{1}{4}(x + 1)$ раскроем скобки в аргументе, чтобы явно увидеть коэффициент $k$: $y = 3\tan(\frac{1}{4}x + \frac{1}{4})$. Таким образом, коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{4}$.

Теперь вычислим период, подставив значения в формулу:
$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{4}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{4}} = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$

126. Решить графически уравнение:

1) $ \cos x = |x|; $

2) $ \sin x = -|x + 1|. $

1)

Для решения уравнения $\cos x = |x|$ графическим методом необходимо построить графики функций $y = \cos x$ и $y = |x|$ в одной системе координат. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$, область значений которой – отрезок $[-1; 1]$. Функция является четной, её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Построим график функции $y = |x|$. Этот график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$. Эта функция также является четной и её график симметричен относительно оси OY.

Поскольку обе функции, $y = \cos x$ и $y = |x|$, являются четными, их графики симметричны относительно оси OY. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также будет корнем. Поэтому достаточно найти положительные корни, а отрицательные будут им симметричны.

Рассмотрим случай $x \ge 0$. Уравнение принимает вид $\cos x = x$.

- При $x = 0$, имеем $\cos(0) = 1$, а $y=x=0$. Таким образом, $\cos x > x$.

- При $x > 1$, значение $\cos x$ находится в пределах от -1 до 1, в то время как $y=x$ будет больше 1. Следовательно, при $x > 1$ пересечений быть не может. Таким образом, если положительный корень существует, он лежит на интервале $(0, 1]$.

- На отрезке $[0, \pi/2]$ (где $\pi/2 \approx 1,57$) функция $y = \cos x$ является непрерывной и убывающей от 1 до 0. Функция $y = x$ на этом же отрезке является непрерывной и возрастающей от 0 до $\pi/2$. Поскольку при $x=0$ значение $\cos x$ больше $x$, а при $x=1$ значение $\cos(1) \approx 0,54$ меньше $1$, то графики функций $y=\cos x$ и $y=x$ обязательно пересекутся, и притом только в одной точке $x_0$ на интервале $(0, 1)$.

Итак, существует единственный положительный корень $x_0$. В силу симметрии графиков относительно оси OY, существует также единственный отрицательный корень $-x_0$.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: уравнение имеет 2 корня.

2)

Для решения уравнения $\sin x = -|x + 1|$ графическим методом построим графики функций $y = \sin x$ и $y = -|x + 1|$ в одной системе координат. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$, область значений которой – отрезок $[-1; 1]$.

2. Построим график функции $y = -|x + 1|$. Этот график получается из графика $y=|x|$ сдвигом на 1 единицу влево по оси OX (получаем $y=|x+1|$) и последующим симметричным отражением относительно оси OX. В результате получаем график в виде перевернутой буквы "V", вершина которой находится в точке $(-1, 0)$. Область значений этой функции – промежуток $(-\infty; 0]$.

Найдем область, в которой могут существовать решения. Пересечение графиков возможно только там, где совпадают их области значений. Область значений $y = \sin x$ – это $[-1; 1]$, а для $y = -|x + 1|$ – это $(-\infty; 0]$. Пересечение этих областей – отрезок $[-1; 0]$.

Это означает, что решения могут существовать только для тех $x$, для которых значения обеих функций лежат в отрезке $[-1; 0]$. Условие $y \ge -1$ для второй функции дает: $-|x+1| \ge -1 \implies |x+1| \le 1 \implies -1 \le x+1 \le 1 \implies -2 \le x \le 0$. Таким образом, все возможные корни уравнения лежат на отрезке $[-2; 0]$.

Раскроем модуль на этом отрезке:

- При $x \in [-1, 0]$: $|x+1| = x+1$. Уравнение принимает вид $\sin x = -(x+1)$ или $\sin x + x + 1 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + x + 1$. На концах отрезка имеем: $f(-1) = \sin(-1) - 1 + 1 = \sin(-1) \approx -0,84 < 0$. $f(0) = \sin(0) + 0 + 1 = 1 > 0$. Производная $f'(x) = \cos x + 1$. На интервале $(-1, 0)$ значение $\cos x > 0$, поэтому $f'(x) > 1 > 0$. Функция $f(x)$ непрерывна и строго возрастает, а на концах отрезка принимает значения разных знаков. Следовательно, на интервале $(-1, 0)$ существует ровно один корень.

- При $x \in [-2, -1)$: $|x+1| = -(x+1)$. Уравнение принимает вид $\sin x = -(-(x+1))$ или $\sin x = x+1$, что эквивалентно $\sin x - x - 1 = 0$. Рассмотрим функцию $g(x) = \sin x - x - 1$. На концах интервала имеем: $g(-1) = \sin(-1) + 1 - 1 = \sin(-1) < 0$. $g(-2) = \sin(-2) - (-2) - 1 = \sin(-2) + 1$. Так как $- \pi/2 \approx -1,57$, а $-\pi \approx -3,14$, то $- \pi < -2 < -\pi/2$. В этой области $\sin(-2)$ отрицателен, но больше $-1$. Поэтому $\sin(-2) + 1 > 0$. Производная $g'(x) = \cos x - 1$. На интервале $(-2, -1)$ значение $\cos x < 1$, поэтому $g'(x) < 0$. Функция $g(x)$ непрерывна и строго убывает, а на концах отрезка $[-2, -1]$ принимает значения разных знаков. Следовательно, на интервале $(-2, -1)$ существует ровно один корень.

За пределами отрезка $[-2, 0]$ решений нет. При $x > 0$, $-|x+1| < -1$, а $\sin x \ge -1$, поэтому равенство невозможно. При $x < -2$, $x+1 < -1$, в то время как $\sin x \ge -1$, поэтому $\sin x > x+1$ и равенство также невозможно.

Следовательно, уравнение имеет ровно два корня.

Ответ: уравнение имеет 2 корня.

127. Найти нули функции:

1) $y = \cos^2 x - \cos x$;

2) $y = \cos x - \cos 2x - \sin 3x$.

1)

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Приравниваем функцию к нулю:

$y = \cos^2 x - \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1. $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - 1 = 0$, то есть $\cos x = 1$, откуда $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Приравниваем функцию к нулю:

$y = \cos x - \cos 2x - \sin 3x = 0$

Для решения преобразуем уравнение. Воспользуемся формулой разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}$ для первых двух слагаемых и формулой синуса двойного угла для $\sin 3x$, представив его как $\sin(2 \cdot \frac{3x}{2})$:

$(\cos x - \cos 2x) - \sin 3x = 0$

$2\sin\frac{x+2x}{2}\sin\frac{2x-x}{2} - 2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2} = 0$

$2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2} - 2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin\frac{3x}{2}$ за скобки:

$2\sin\frac{3x}{2} \left( \sin\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} \right) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\sin\frac{3x}{2} = 0$
$\frac{3x}{2} = \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow \sin\frac{x}{2} = \cos\frac{3x}{2}$.
Используя формулу приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, получаем:
$\sin\frac{x}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2})$.
Равенство синусов выполняется в двух случаях:
а) Аргументы равны (с точностью до периода $2\pi$):
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} + 2\pi n$
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) Сумма аргументов равна $\pi$ (с точностью до периода $2\pi$), то есть $\alpha = \pi - \beta + 2\pi m$:
$\frac{x}{2} = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}\right) + 2\pi m$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2} + 2\pi m$
$-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{2} - 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

128. Решить уравнение:

1) $ \arccos(x-3) = \frac{3\pi}{4} $;

2) $ \arcsin\left(\frac{x+2}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} $.

1) $\arccos(x-3) = \frac{3\pi}{4}$

По определению арккосинуса, если $\arccos(a) = b$, то это эквивалентно тому, что $\cos(b) = a$ при выполнении двух условий: $-1 \le a \le 1$ (область определения арккосинуса) и $0 \le b \le \pi$ (область значений арккосинуса).

В нашем случае $a = x-3$ и $b = \frac{3\pi}{4}$.

Сначала проверим, входит ли значение $b = \frac{3\pi}{4}$ в область значений арккосинуса $[0, \pi]$.

$0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi$ - это неравенство верно, так как $0 \le \frac{3}{4} \le 1$.

Следовательно, мы можем переписать исходное уравнение, применив к обеим частям функцию косинуса:

$\cos(\arccos(x-3)) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

$x-3 = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Найдем значение косинуса в правой части. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти, где значения косинуса отрицательны.

$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$x-3 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Осталось найти $x$, перенеся $-3$ в правую часть:

$x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арккосинуса: $-1 \le x-3 \le 1$.

Подставим найденный $x$: $x-3 = \left(3 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, и, следовательно, $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{1}{2}$. Неравенство $-1 \le -\frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$ выполняется, значит, решение корректно.

Ответ: $x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) $\arcsin\left(\frac{x+2}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$

По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то это эквивалентно тому, что $\sin(b) = a$ при выполнении двух условий: $-1 \le a \le 1$ (область определения арксинуса) и $-\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}$ (область значений арксинуса).

В нашем случае $a = \frac{x+2}{3}$ и $b = -\frac{\pi}{6}$.

Сначала проверим, входит ли значение $b = -\frac{\pi}{6}$ в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$ - это неравенство верно, так как $-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{6} \le \frac{1}{2}$.

Следовательно, мы можем применить к обеим частям уравнения функцию синуса:

$\sin\left(\arcsin\left(\frac{x+2}{3}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

$\frac{x+2}{3} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Найдем значение синуса в правой части. Функция синус нечетная, поэтому $\sin(-y) = -\sin(y)$.

$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$\frac{x+2}{3} = -\frac{1}{2}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 3:

$x+2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$x+2 = -\frac{3}{2}$

Перенесем 2 в правую часть:

$x = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{7}{2}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арксинуса: $-1 \le \frac{x+2}{3} \le 1$.

Подставим найденный $x$: $\frac{-\frac{7}{2}+2}{3} = \frac{-\frac{7}{2}+\frac{4}{2}}{3} = \frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{1}{2}$.

Неравенство $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$ выполняется, значит, решение корректно.

Ответ: $x = -\frac{7}{2}$.

129. Найти все значения x, при которых функция $y=1.5-2\sin^2\frac{x}{2}$ принимает положительные значения.

Для того чтобы найти все значения $x$, при которых функция $y = 1,5 - 2\sin^2\frac{x}{2}$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

$1,5 - 2\sin^2\frac{x}{2} > 0$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Если принять $\alpha = \frac{x}{2}$, то $2\alpha = x$, и формула примет вид: $\cos(x) = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$.

Выразим $2\sin^2\frac{x}{2}$ из этой формулы: $2\sin^2\frac{x}{2} = 1 - \cos(x)$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$1,5 - (1 - \cos(x)) > 0$

$1,5 - 1 + \cos(x) > 0$

$0,5 + \cos(x) > 0$

Перенесем $0,5$ в правую часть:

$\cos(x) > -0,5$

Теперь решим это тригонометрическое неравенство. Сначала найдем корни уравнения $\cos(x) = -0,5$.

Общее решение этого уравнения: $x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-0,5) = \frac{2\pi}{3}$, то $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Используя единичную окружность, определим, при каких значениях $x$ косинус будет больше $-0,5$. Это соответствует дуге, заключенной между точками $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решение неравенства на одном периоде имеет вид: $-\frac{2\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается как:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).

Ответ: $x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

130. Построить график функции:

1) $y = 2\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) - 2;$

2) $y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x};$

3) $y = \cos |x|;$

4) $y = -\sin x;$

5) $y = \sin x + |\sin x|;$

6) $y = 2^{\sin x}.$

1) $y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2$

Построение графика этой функции можно выполнить с помощью последовательных преобразований графика основной функции $y=\sin x$.

1. Базовый график: Начнем с графика функции $y=\sin x$. Это синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.

2. Горизонтальное растяжение: Заменим $x$ на $\frac{x}{2}$. Функция примет вид $y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$. Это приведет к растяжению графика вдоль оси OX в 2 раза. Период функции увеличится в 2 раза и станет $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг): Преобразуем аргумент синуса: $\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$. График функции $y=\sin\left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\right)$ получается из графика $y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ сдвигом влево по оси OX на $\frac{2\pi}{3}$.

4. Вертикальное растяжение: Умножим функцию на 2: $y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$. Это растянет график вдоль оси OY в 2 раза. Амплитуда колебаний станет равной 2. Значения функции будут находиться в отрезке $[-2, 2]$.

5. Вертикальный сдвиг: Вычтем 2 из функции: $y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2$. Это сдвинет график вниз по оси OY на 2 единицы. Область значений функции сместится и станет $[-2-2, 2-2]$, то есть $[-4, 0]$.

Таким образом, мы строим синусоиду, которая колеблется относительно линии $y=-2$ с амплитудой 2, имеет период $4\pi$ и сдвинута влево на $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции — это синусоида с периодом $4\pi$, амплитудой 2, сдвинутая по горизонтали влево на $\frac{2\pi}{3}$ и по вертикали вниз на 2. Область значений функции: $E(y) = [-4, 0]$.

2) $y=\cos x - \sqrt{\cos^2 x}$

Сначала упростим выражение. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, $\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$.

Тогда функция принимает вид: $y = \cos x - |\cos x|$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\cos x \ge 0$. Это происходит при $x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция становится: $y = \cos x - \cos x = 0$.

2. Если $\cos x < 0$. Это происходит при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция становится: $y = \cos x - (-\cos x) = 2\cos x$.

Таким образом, график функции состоит из двух чередующихся частей:

• отрезков прямой $y=0$ на интервалах, где косинус неотрицателен;
• частей графика $y=2\cos x$ (с амплитудой 2) на интервалах, где косинус отрицателен.

Функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции совпадает с осью OX на участках, где $\cos x \ge 0$, и представляет собой график функции $y = 2\cos x$ на участках, где $\cos x < 0$.

3) $y=\cos|x|$

Функция $f(x) = \cos x$ является четной. По определению четной функции, $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Для косинуса это означает, что $\cos(-x) = \cos x$.

Рассмотрим функцию $y=\cos|x|$:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y=\cos x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y=\cos(-x)$. Так как косинус — четная функция, $\cos(-x) = \cos x$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ значение функции $y=\cos|x|$ совпадает со значением функции $y=\cos x$.

Общее правило для построения графика $y=f(|x|)$: часть графика $y=f(x)$ для $x \ge 0$ остается без изменений, а затем эта часть симметрично отражается относительно оси OY на отрицательную полуось. Поскольку график $y=\cos x$ уже симметричен относительно оси OY, это преобразование не меняет его.

Ответ: График функции $y=\cos|x|$ полностью совпадает с графиком функции $y=\cos x$.

4) $y=-\sin x$

График функции $y=-\sin x$ получается из графика функции $y=\sin x$ путем преобразования.

Знак "минус" перед функцией $f(x)$ означает, что график функции $y=-f(x)$ является симметричным отражением графика $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси OX).

Для построения графика $y=-\sin x$:

1. Строим базовый график $y=\sin x$.

2. Отражаем его симметрично относительно оси OX.

• Точки, где $\sin x > 0$ (например, на интервале $(0, \pi)$), окажутся под осью OX. Максимум в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перейдет в минимум в точке $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
• Точки, где $\sin x < 0$ (например, на интервале $(\pi, 2\pi)$), окажутся над осью OX. Минимум в точке $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перейдет в максимум в точке $(\frac{3\pi}{2}, 1)$.
• Точки, где $\sin x = 0$ (нули функции, $x=\pi k, k \in \mathbb{Z}$), останутся на месте.

Ответ: График функции $y=-\sin x$ получается из графика $y=\sin x$ путем его симметричного отражения относительно оси OX.

5) $y=\sin x + |\sin x|$

Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $\sin x \ge 0$. Это происходит при $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция становится: $y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

2. Если $\sin x < 0$. Это происходит при $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция становится: $y = \sin x + (-\sin x) = 0$.

Таким образом, график функции состоит из следующих частей:

• Верхние "арки" графика $y=2\sin x$ (синусоида с амплитудой 2) на интервалах, где синус неотрицателен. Максимальное значение равно 2.
• Отрезки прямой $y=0$ на интервалах, где синус отрицателен.

Функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции состоит из "арок" графика $y = 2\sin x$ на промежутках, где $\sin x \ge 0$, и отрезков прямой $y=0$ на промежутках, где $\sin x < 0$.

6) $y=2^{\sin x}$

Это сложная функция, являющаяся композицией двух функций: внутренняя $u(x) = \sin x$ и внешняя $g(u) = 2^u$.

1. Анализ внутренней функции $u = \sin x$: Это стандартная синусоида. Ее область значений — отрезок $E(\sin x) = [-1, 1]$. Период функции равен $2\pi$.

2. Анализ внешней функции $y=2^u$: Это показательная функция с основанием 2. Она монотонно возрастает на всей своей области определения и всегда положительна.

3. Построение графика композиции:

• Периодичность: Так как $\sin x$ имеет период $2\pi$, вся функция $y=2^{\sin x}$ также будет периодической с периодом $2\pi$.
• Область значений: Чтобы найти область значений $y$, нужно подставить в $y=2^u$ минимальное и максимальное значения $u = \sin x$.
  - Минимальное значение: $y_{min} = 2^{\min(\sin x)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Это достигается, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  - Максимальное значение: $y_{max} = 2^{\max(\sin x)} = 2^{1} = 2$. Это достигается, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  Таким образом, область значений функции $E(y) = [\frac{1}{2}, 2]$.
• Ключевые точки: Когда $\sin x = 0$ (в точках $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$), значение функции равно $y = 2^0 = 1$.

График представляет собой волну, колеблющуюся между $\frac{1}{2}$ и 2. В отличие от синусоиды, эта кривая несимметрична относительно своей средней линии: она более "круто" поднимается к максимуму и более "поло́го" опускается к минимуму.

Ответ: График функции является периодической кривой с периодом $2\pi$. Он колеблется между минимальным значением $y=\frac{1}{2}$ (в точках $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k$) и максимальным значением $y=2$ (в точках $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$). График проходит через точки $(\pi k, 1)$.

131. Найти множество значений функции:

1) $y=12\sin x - 5\cos x$;

2) $y=\cos^2 x - \sin x$.

1)

Для нахождения множества значений функции $y = 12\sin x - 5\cos x$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражения вида $a\sin x + b\cos x$ можно преобразовать к виду $C\sin(x+\phi)$ или $C\cos(x+\psi)$.

Вынесем за скобки множитель $C = \sqrt{a^2 + b^2}$. В данном случае $a=12$, $b=-5$.

$C = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде:

$y = 13 \left(\frac{12}{13}\sin x - \frac{5}{13}\cos x\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{12}{13}$ и $\sin \phi = \frac{5}{13}$. Такой угол существует, так как выполняется основное тригонометрическое тождество: $(\frac{12}{13})^2 + (\frac{5}{13})^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1$.

Подставим эти значения в выражение для $y$:

$y = 13(\cos \phi \sin x - \sin \phi \cos x)$.

Используя формулу синуса разности $\sin(x - \phi) = \sin x \cos \phi - \cos x \sin \phi$, получаем:

$y = 13\sin(x - \phi)$.

Множество значений функции синус, то есть $\sin(x-\phi)$, является отрезком $[-1, 1]$.

Следовательно, множество значений исходной функции $y$ равно $[-1 \cdot 13, 1 \cdot 13]$, то есть $[-13, 13]$.

Ответ: $E(y) = [-13, 13]$.

2)

Дана функция $y = \cos^2 x - \sin x$.

Для нахождения множества значений преобразуем функцию так, чтобы она зависела только от одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$y = (1 - \sin^2 x) - \sin x = -\sin^2 x - \sin x + 1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку множество значений функции $\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то переменная $t$ принимает значения из этого же отрезка: $t \in [-1, 1]$.

Функция принимает вид квадратичной зависимости от $t$:

$y(t) = -t^2 - t + 1$.

Теперь задача сводится к нахождению множества значений этой квадратичной функции на отрезке $[-1, 1]$. Графиком функции $y(t)$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицателен (равен -1).

Наибольшее значение параболы с ветвями вниз достигается в ее вершине. Найдем координату вершины $t_v$ по формуле $t_v = -\frac{b}{2a}$:

$t_v = -\frac{-1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$.

Так как $t_v = -1/2$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то максимальное значение функции на этом отрезке будет в вершине:

$y_{max} = y(-1/2) = -(-1/2)^2 - (-1/2) + 1 = -1/4 + 1/2 + 1 = 1/4 + 1 = 5/4$.

Наименьшее значение на отрезке $[-1, 1]$ будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(-1) = -(-1)^2 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1$.

$y(1) = -(1)^2 - (1) + 1 = -1 - 1 + 1 = -1$.

Сравнивая значения $y(-1)$ и $y(1)$, видим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-1$.

Таким образом, множество значений функции $y(t)$ на отрезке $t \in [-1, 1]$ есть отрезок $[-1, 5/4]$. Это и есть множество значений исходной функции.

Ответ: $E(y) = [-1, 5/4]$.

132. Решить неравенство:

1) $sin x \ge cos x$;

2) $tg x > sin x$.

1) $\sin x \ge \cos x$

Перенесем $\cos x$ в левую часть неравенства:

$\sin x - \cos x \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) \ge 0$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения в неравенство:

$\sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) \ge 0$

Выражение в скобках является формулой синуса разности $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$. Применим ее:

$\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0$

Так как $\sqrt{2} > 0$, неравенство сводится к следующему:

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0$

Синус неотрицателен, когда его аргумент находится в промежутке от $0$ до $\pi$ (включая концы), с учетом периодичности $2\pi$.

Пусть $u = x - \frac{\pi}{4}$. Тогда $\sin u \ge 0$.

Решением для $u$ является $2\pi k \le u \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $u = x - \frac{\pi}{4}$:

$2\pi k \le x - \frac{\pi}{4} \le \pi + 2\pi k$

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям двойного неравенства, чтобы выразить $x$:

$2\pi k + \frac{\pi}{4} \le x \le \pi + 2\pi k + \frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg} x > \sin x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс определен, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Запишем тангенс как отношение синуса к косинусу:

$\frac{\sin x}{\cos x} > \sin x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x > 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) > 0$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\sin x \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right) > 0$

$\frac{\sin x (1 - \cos x)}{\cos x} > 0$

Рассмотрим множитель $(1 - \cos x)$. Поскольку значение $\cos x$ всегда находится в пределах от $-1$ до $1$, выражение $(1 - \cos x)$ всегда неотрицательно, т.е. $(1 - \cos x) \ge 0$.

Равенство $1 - \cos x = 0$ достигается при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках исходное неравенство принимает вид $0 > 0$, что неверно. Следовательно, эти точки не являются решением.

Для всех остальных $x$ из ОДЗ имеем $1 - \cos x > 0$. Значит, мы можем разделить обе части неравенства на $(1 - \cos x)$, не меняя знака:

$\frac{\sin x}{\cos x} > 0$

Это неравенство равносильно $\operatorname{tg} x > 0$.

Тангенс положителен в I и III координатных четвертях. Решением неравенства $\operatorname{tg} x > 0$ являются интервалы, где синус и косинус имеют одинаковые знаки.

Учитывая периодичность тангенса, получаем:

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Данное решение уже учитывает ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$) и исключает точки $x = 2\pi k$ (так как при $k=m$ имеем $2\pi m$, а в нашем решении левая граница $\pi k$ не включается).

Ответ: $x \in \left(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

133. Сечение канала — равнобедренный треугольник площади $S$. Каким должен быть угол при вершине этого треугольника, чтобы канал имел наименьший смоченный периметр (длина границы сечения, соприкасающаяся с водой).

Пусть сечение канала представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и углом при вершине $\alpha$. Основание треугольника является поверхностью воды и, согласно условию, не входит в смоченный периметр.

Смоченный периметр $P$ — это сумма длин боковых сторон треугольника, соприкасающихся с водой:

$P = a + a = 2a$

Площадь сечения $S$ (постоянная величина) можно выразить через боковую сторону $a$ и угол при вершине $\alpha$ по формуле:

$S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$

Задача состоит в том, чтобы найти значение угла $\alpha$, при котором смоченный периметр $P$ будет наименьшим. Для этого выразим $a$ из формулы площади и подставим в выражение для периметра.

Из формулы площади получаем:

$a^2 = \frac{2S}{\sin(\alpha)} \implies a = \sqrt{\frac{2S}{\sin(\alpha)}}$

Подставим это выражение для $a$ в формулу периметра $P$, получив функцию $P(\alpha)$:

$P(\alpha) = 2a = 2\sqrt{\frac{2S}{\sin(\alpha)}}$

Чтобы периметр $P$ был наименьшим, значение подкоренного выражения $\frac{2S}{\sin(\alpha)}$ также должно быть наименьшим. Поскольку площадь $S$ является константой, нам необходимо минимизировать дробь $\frac{1}{\sin(\alpha)}$. Это, в свою очередь, эквивалентно максимизации её знаменателя, то есть функции $\sin(\alpha)$.

Угол при вершине треугольника $\alpha$ может изменяться в пределах $0 < \alpha < \pi$ (или от 0° до 180°). В этом интервале функция $\sin(\alpha)$ достигает своего максимального значения, равного 1, при $\alpha = \frac{\pi}{2}$ или 90°.

Таким образом, смоченный периметр будет наименьшим, когда угол при вершине треугольника равен 90°. В этом случае сечение канала представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник.

Проверка с помощью производной

Для формального доказательства найдем производную функции $P(\alpha)$ по $\alpha$ и приравняем её к нулю для поиска точек экстремума.

$P'(\alpha) = \frac{d}{d\alpha} \left( 2\sqrt{2S} (\sin(\alpha))^{-1/2} \right) = 2\sqrt{2S} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) (\sin(\alpha))^{-3/2} \cdot \cos(\alpha) = -\sqrt{2S} \frac{\cos(\alpha)}{(\sin(\alpha))^{3/2}}$

Приравняем производную к нулю:

$P'(\alpha) = 0 \implies -\sqrt{2S} \frac{\cos(\alpha)}{(\sin(\alpha))^{3/2}} = 0$

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю (знаменатель в области определения $(0, \pi)$ не равен нулю):

$\cos(\alpha) = 0$

Единственное решение этого уравнения в интервале $(0, \pi)$ — это $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной в окрестности $\alpha = \frac{\pi}{2}$:

• При $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\cos(\alpha) > 0$, а значит $P'(\alpha) < 0$ (функция $P(\alpha)$ убывает).
• При $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\cos(\alpha) < 0$, а значит $P'(\alpha) > 0$ (функция $P(\alpha)$ возрастает).

Поскольку при переходе через точку $\alpha = \frac{\pi}{2}$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Следовательно, наименьший смоченный периметр достигается при угле $\alpha = 90^\circ$.

Ответ: Угол при вершине этого треугольника должен быть равен 90°.