Страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Сравнить числа (95–97).

95. 1) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$; 2) $\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right)$ и $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$;

3) $\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$; 4) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$ и $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$.

Для сравнения значений функции арксинус, воспользуемся ее свойством монотонности. Функция $y = \arcsin(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\arcsin(x_1) < \arcsin(x_2)$. Таким образом, задача сводится к сравнению аргументов функции арксинус.

1) Сравним $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$.

Для этого сравним аргументы $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{2}{\sqrt{10}}$. Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты:

$(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$

$(\frac{2}{\sqrt{10}})^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$

Так как $\frac{5}{15} < \frac{6}{15}$, то $\frac{1}{3} < \frac{2}{5}$.

Поскольку исходные числа были положительны, то из $\frac{1}{3} < \frac{2}{5}$ следует, что $\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{2}{\sqrt{10}}$.

В силу возрастания функции арксинус, получаем:

$\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$.

Ответ: $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$.

2) Сравним $\arcsin(-\frac{2}{3})$ и $\arcsin(-\frac{3}{4})$.

Сравним аргументы $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{4}$.

Сначала сравним их модули: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю 12:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{2}{3} > -\frac{3}{4}$.

В силу возрастания функции арксинус, получаем:

$\arcsin(-\frac{2}{3}) > \arcsin(-\frac{3}{4})$.

Ответ: $\arcsin(-\frac{2}{3}) > \arcsin(-\frac{3}{4})$.

3) Сравним $\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Сравним аргументы $\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\frac{\sqrt{5}}{3}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты:

$(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5}$

$(\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = \frac{5}{9}$

Теперь сравним дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{9}$. Приведем их к общему знаменателю 45:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{36}{45}$

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{25}{45}$

Так как $\frac{36}{45} > \frac{25}{45}$, то $\frac{4}{5} > \frac{5}{9}$.

Поскольку исходные числа были положительны, то из $\frac{4}{5} > \frac{5}{9}$ следует, что $\frac{2}{\sqrt{5}} > \frac{\sqrt{5}}{3}$.

В силу возрастания функции арксинус, получаем:

$\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}} > \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ответ: $\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}} > \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$.

4) Сравним $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3})$ и $\arcsin(-\frac{3}{4})$.

Сравним аргументы $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ и $-\frac{3}{4}$.

Сначала сравним их модули: $\frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты:

$(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{2}{9}$

$(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$

Теперь сравним дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{9}{16}$. Приведем их к общему знаменателю 144:

$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 16}{9 \cdot 16} = \frac{32}{144}$

$\frac{9}{16} = \frac{9 \cdot 9}{16 \cdot 9} = \frac{81}{144}$

Так как $\frac{32}{144} < \frac{81}{144}$, то $\frac{2}{9} < \frac{9}{16}$.

Поскольку исходные модули были положительны, то из $\frac{2}{9} < \frac{9}{16}$ следует, что $\frac{\sqrt{2}}{3} < \frac{3}{4}$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{\sqrt{2}}{3} > -\frac{3}{4}$.

В силу возрастания функции арксинус, получаем:

$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3}) > \arcsin(-\frac{3}{4})$.

Ответ: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3}) > \arcsin(-\frac{3}{4})$.

96. 1) arccos $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и arccos $\frac{1}{\sqrt{5}}>;

2) arccos $\left(-\frac{4}{5}\right)$ и arccos $\left(-\frac{1}{3}\right);

3) arccos $\frac{\sqrt{5}}{4}$ и arccos $\frac{\sqrt{7}}{7};

4) arccos $\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ и arccos $\left(-\frac{3}{7}\right).$

Для сравнения значений арккосинусов используется свойство функции $y = \arccos(x)$. Эта функция является монотонно убывающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $x \in [-1, 1]$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$, и наоборот, если $x_1 > x_2$, то $\arccos(x_1) < \arccos(x_2)$.

1) Сравнить $\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arccos\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Для начала сравним аргументы арккосинусов: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Знак неравенства при этом сохранится.
$(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$
$(\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{1}{5}$
Сравним полученные дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$. Так как у дробей одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $3 < 5$, то $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.
Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Значит, $\arccos\frac{1}{\sqrt{3}} < \arccos\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Ответ: $\arccos\frac{1}{\sqrt{3}} < \arccos\frac{1}{\sqrt{5}}$.

2) Сравнить $\arccos(-\frac{4}{5})$ и $\arccos(-\frac{1}{3})$.

Сравним аргументы: $-\frac{4}{5}$ и $-\frac{1}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $15$:
$-\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{12}{15}$
$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{5}{15}$
Сравним числители: $-12 < -5$. Следовательно, $-\frac{12}{15} < -\frac{5}{15}$, а значит $-\frac{4}{5} < -\frac{1}{3}$.
Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Значит, $\arccos(-\frac{4}{5}) > \arccos(-\frac{1}{3})$.
Ответ: $\arccos(-\frac{4}{5}) > \arccos(-\frac{1}{3})$.

3) Сравнить $\arccos\frac{\sqrt{5}}{4}$ и $\arccos\frac{\sqrt{7}}{7}$.

Сравним аргументы: $\frac{\sqrt{5}}{4}$ и $\frac{\sqrt{7}}{7}$.
Оба аргумента являются положительными числами. Для удобства сравнения возведем их в квадрат:
$(\frac{\sqrt{5}}{4})^2 = \frac{5}{16}$
$(\frac{\sqrt{7}}{7})^2 = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$
Теперь сравним дроби $\frac{5}{16}$ и $\frac{1}{7}$. Приведем их к общему знаменателю $16 \cdot 7 = 112$:
$\frac{5}{16} = \frac{5 \cdot 7}{16 \cdot 7} = \frac{35}{112}$
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 16}{7 \cdot 16} = \frac{16}{112}$
Поскольку $35 > 16$, то $\frac{35}{112} > \frac{16}{112}$, а значит $\frac{5}{16} > \frac{1}{7}$.
Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{4} > \frac{\sqrt{7}}{7}$.
Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Значит, $\arccos\frac{\sqrt{5}}{4} < \arccos\frac{\sqrt{7}}{7}$.
Ответ: $\arccos\frac{\sqrt{5}}{4} < \arccos\frac{\sqrt{7}}{7}$.

4) Сравнить $\arccos(-\frac{2}{\sqrt{5}})$ и $\arccos(-\frac{3}{7})$.

Сравним аргументы: $-\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $-\frac{3}{7}$.
Оба аргумента отрицательны. Сначала сравним их модули: $\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\frac{3}{7}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5}$
$(\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$
Сравним дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{9}{49}$. Приведем их к общему знаменателю $5 \cdot 49 = 245$:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 49}{5 \cdot 49} = \frac{196}{245}$
$\frac{9}{49} = \frac{9 \cdot 5}{49 \cdot 5} = \frac{45}{245}$
Поскольку $196 > 45$, то $\frac{196}{245} > \frac{45}{245}$, а значит $\frac{4}{5} > \frac{9}{49}$.
Следовательно, $\frac{2}{\sqrt{5}} > \frac{3}{7}$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, то из $\frac{2}{\sqrt{5}} > \frac{3}{7}$ следует, что $-\frac{2}{\sqrt{5}} < -\frac{3}{7}$.
Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Значит, $\arccos(-\frac{2}{\sqrt{5}}) > \arccos(-\frac{3}{7})$.
Ответ: $\arccos(-\frac{2}{\sqrt{5}}) > \arccos(-\frac{3}{7})$.

97. 1) $\operatorname{arctg} 2\sqrt{3}$ и $\operatorname{arctg} 3\sqrt{2}$;

2) $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ и $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$;

3) $\operatorname{arcctg} \sqrt{5}$ и $\operatorname{arcctg} \sqrt{7}$;

4) $\operatorname{arcctg}\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ и $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{2})$.

Для решения данных задач необходимо знать свойства монотонности обратных тригонометрических функций:

• Функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\operatorname{arctg}(x_1) < \operatorname{arctg}(x_2)$.
• Функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ является убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\operatorname{arcctg}(x_1) > \operatorname{arcctg}(x_2)$.

1) arctg 2√3 и arctg 3√2

Так как функция арктангенс является возрастающей, для сравнения значений функции достаточно сравнить их аргументы: $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$.

Для того чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Поскольку $12 < 18$, то и $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

Так как функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ возрастающая, то из $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$ следует, что $\operatorname{arctg} 2\sqrt{3} < \operatorname{arctg} 3\sqrt{2}$.

Ответ: $\operatorname{arctg} 2\sqrt{3} < \operatorname{arctg} 3\sqrt{2}$.

2) arctg $(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ и arctg $(-\frac{1}{\sqrt{5}})$

Функция арктангенс является возрастающей, поэтому сравним её аргументы: $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Сначала сравним положительные числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$. Так как $2 < 5$, то $\sqrt{2} < \sqrt{5}$.

При сравнении обратных величин для положительных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.

При умножении на отрицательное число ($-1$) знак неравенства снова меняется: $-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Так как функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ возрастающая, то из $-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$ следует, что $\operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

Ответ: $\operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

3) arcctg √5 и arcctg √7

Функция арккотангенс является убывающей. Для сравнения значений функции необходимо сравнить их аргументы: $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$.

Так как $5 < 7$, то и $\sqrt{5} < \sqrt{7}$.

Поскольку функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ убывающая, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $\sqrt{5} < \sqrt{7}$ следует, что $\operatorname{arcctg} \sqrt{5} > \operatorname{arcctg} \sqrt{7}$.

Ответ: $\operatorname{arcctg} \sqrt{5} > \operatorname{arcctg} \sqrt{7}$.

4) arcctg $(-\frac{2}{\sqrt{3}})$ и arcctg (-√2)

Функция арккотангенс является убывающей. Сравним её аргументы: $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $-\sqrt{2}$.

Сначала сравним положительные числа $\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $\sqrt{2}$. Для этого возведем их в квадрат:

$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Поскольку $\frac{4}{3} < 2$, то и $\frac{2}{\sqrt{3}} < \sqrt{2}$.

При умножении на $-1$ знак неравенства меняется: $-\frac{2}{\sqrt{3}} > -\sqrt{2}$.

Так как функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ убывающая, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $-\frac{2}{\sqrt{3}} > -\sqrt{2}$ следует, что $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) < \operatorname{arcctg} (-\sqrt{2})$.

Ответ: $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) < \operatorname{arcctg} (-\sqrt{2})$.

Решить уравнение (98—100).

98. 1) $\arcsin(2-3x) = \frac{\pi}{6}$;

2) $\arcsin(3-2x) = \frac{\pi}{4}$;

3) $\arcsin \frac{x-2}{4} = -\frac{\pi}{4}$;

4) $\arcsin \frac{x+3}{2} = -\frac{\pi}{3}$;

1) Дано уравнение $\arcsin(2 - 3x) = \frac{\pi}{6}$.
По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом значение $b$ должно находиться в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
В данном случае $b = \frac{\pi}{6}$, что удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, мы можем переписать уравнение в виде:
$2 - 3x = \sin(\frac{\pi}{6})$
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставляем это значение:
$2 - 3x = \frac{1}{2}$
Теперь решаем это линейное уравнение относительно $x$:
$3x = 2 - \frac{1}{2}$
$3x = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2 \cdot 3}$
$x = \frac{1}{2}$
Область определения функции арксинус требует, чтобы ее аргумент находился в отрезке $[-1, 1]$. Проверим это условие для найденного $x$. Аргумент равен $2 - 3x = 2 - 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$. Поскольку $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$, решение является верным.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Дано уравнение $\arcsin(3 - 2x) = \frac{\pi}{4}$.
Значение $\frac{\pi}{4}$ находится в диапазоне значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому уравнение имеет решение.
Применяя определение арксинуса, получаем:
$3 - 2x = \sin(\frac{\pi}{4})$
Значение синуса $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$3 - 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Выразим $x$:
$2x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$2x = \frac{6 - \sqrt{2}}{2}$
$x = \frac{6 - \sqrt{2}}{4}$
Проверка области определения арксинуса: аргумент $3 - 2x$ должен быть в пределах от -1 до 1. Из нашего решения $3 - 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, это значение входит в отрезок $[-1, 1]$. Решение корректно.
Ответ: $\frac{6 - \sqrt{2}}{4}$.

3) Дано уравнение $\arcsin\frac{x-2}{4} = -\frac{\pi}{4}$.
Значение $-\frac{\pi}{4}$ находится в диапазоне значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что позволяет решить уравнение.
По определению арксинуса:
$\frac{x-2}{4} = \sin(-\frac{\pi}{4})$
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем значение:
$\frac{x-2}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Решаем уравнение для $x$:
$x - 2 = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$x - 2 = -2\sqrt{2}$
$x = 2 - 2\sqrt{2}$
Проверка: аргумент $\frac{x-2}{4}$ равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ находится в отрезке $[-1, 1]$, так что решение верное.
Ответ: $2 - 2\sqrt{2}$.

4) Дано уравнение $\arcsin\frac{x+3}{2} = -\frac{\pi}{3}$.
Значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.
Переходим к синусу по определению арксинуса:
$\frac{x+3}{2} = \sin(-\frac{\pi}{3})$
Вычисляем синус:
$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Получаем уравнение:
$\frac{x+3}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Умножаем обе части на 2:
$x + 3 = -\sqrt{3}$
$x = -3 - \sqrt{3}$
Проверка: аргумент $\frac{x+3}{2}$ равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$ находится в отрезке $[-1, 1]$. Решение является верным.
Ответ: $-3 - \sqrt{3}$.

99. 1) $\arccos(2x + 3) = \frac{\pi}{3}$;

2) $\arccos(3x + 1) = \frac{\pi}{2}$;

3) $\arccos \frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$;

4) $\arccos \frac{2x-1}{3} = \pi$.

1) Решим уравнение $arccos(2x + 3) = \frac{\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, уравнение $arccos(a) = b$ равносильно $a = cos(b)$ при условии, что $b$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

В данном уравнении правая часть $\frac{\pi}{3}$ удовлетворяет этому условию. Следовательно, мы можем переписать уравнение в виде:

$2x + 3 = cos(\frac{\pi}{3})$

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ составляет $\frac{1}{2}$.

$2x + 3 = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = \frac{1}{2} - 3$

$2x = \frac{1}{2} - \frac{6}{2}$

$2x = -\frac{5}{2}$

$x = -\frac{5}{4}$

Ответ: $x = -\frac{5}{4}$.

2) Решим уравнение $arccos(3x + 1) = \frac{\pi}{2}$.

Согласно определению арккосинуса, и так как $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$, уравнение можно преобразовать:

$3x + 1 = cos(\frac{\pi}{2})$

Вычислим значение косинуса:

$cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Подставим это значение в уравнение:

$3x + 1 = 0$

Решим уравнение относительно $x$:

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

3) Решим уравнение $arccos\frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Правая часть уравнения, $\frac{2\pi}{3}$, находится в области значений арккосинуса $[0, \pi]$. Применим определение арккосинуса:

$\frac{x+1}{3} = cos(\frac{2\pi}{3})$

Значение косинуса для угла $\frac{2\pi}{3}$ равно $-\frac{1}{2}$.

$\frac{x+1}{3} = -\frac{1}{2}$

Теперь решим это уравнение для $x$:

$x+1 = 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x+1 = -\frac{3}{2}$

$x = -\frac{3}{2} - 1$

$x = -\frac{3}{2} - \frac{2}{2}$

$x = -\frac{5}{2}$

Ответ: $x = -\frac{5}{2}$.

4) Решим уравнение $arccos\frac{2x-1}{3} = \pi$.

Значение $\pi$ является допустимым значением для арккосинуса. По определению, мы можем записать:

$\frac{2x-1}{3} = cos(\pi)$

Вычислим значение косинуса:

$cos(\pi) = -1$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{2x-1}{3} = -1$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x - 1 = -3$

$2x = -3 + 1$

$2x = -2$

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

100. 1) $ \text{arctg} \frac{1-x}{4} = \frac{\pi}{3}; $ 2) $ \text{arctg} \frac{1+2x}{3} = \frac{\pi}{4}; $

3) $ \text{arctg}(2x+1) = -\frac{\pi}{3}; $ 4) $ \text{arctg}(2-3x) = -\frac{\pi}{4}. $

1) Дано уравнение $\arctg\frac{1-x}{4} = \frac{\pi}{3}$.
По определению арктангенса, если $\arctg(a) = b$, то $a = \tg(b)$. Применим это свойство к нашему уравнению.
$\frac{1-x}{4} = \tg(\frac{\pi}{3})$
Мы знаем, что значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\sqrt{3}$.
$\frac{1-x}{4} = \sqrt{3}$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 4:
$1 - x = 4\sqrt{3}$
Выразим $x$:
$-x = 4\sqrt{3} - 1$
$x = 1 - 4\sqrt{3}$
Ответ: $x = 1 - 4\sqrt{3}$.

2) Дано уравнение $\arctg\frac{1+2x}{3} = \frac{\pi}{4}$.
Применив тангенс к обеим частям уравнения, получим:
$\frac{1+2x}{3} = \tg(\frac{\pi}{4})$
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1.
$\frac{1+2x}{3} = 1$
Умножим обе части на 3:
$1 + 2x = 3$
Вычтем 1 из обеих частей:
$2x = 2$
Разделим обе части на 2:
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.

3) Дано уравнение $\arctg(2x+1) = -\frac{\pi}{3}$.
Возьмем тангенс от обеих частей уравнения:
$2x+1 = \tg(-\frac{\pi}{3})$
Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\tg(-a) = -\tg(a)$. Следовательно, $\tg(-\frac{\pi}{3}) = -\tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
$2x+1 = -\sqrt{3}$
Вычтем 1 из обеих частей:
$2x = -1 - \sqrt{3}$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $x = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

4) Дано уравнение $\arctg(2-3x) = -\frac{\pi}{4}$.
Применим тангенс к обеим частям уравнения:
$2-3x = \tg(-\frac{\pi}{4})$
Так как тангенс - нечетная функция, $\tg(-\frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.
$2-3x = -1$
Вычтем 2 из обеих частей:
$-3x = -1 - 2$
$-3x = -3$
Разделим обе части на -3:
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.

101. Найти область определения функции:

1) $y = \arcsin \frac{x-3}{2};$

2) $y = \arccos (2 - 3x);$

3) $y = \arccos (2\sqrt{x} - 3);$

4) $y = \arcsin \frac{2x^2 - 5}{3};$

5) $y = \arccos \frac{2 - \sqrt{x}}{3};$

6) $y = \arcsin (3\sqrt{x} - 2);$

7) $y = \arcsin (x^2 - 2);$

8) $y = \arccos (x^2 - x).$

1) Область определения функции $y = \arcsin(u)$ задается неравенством $-1 \le u \le 1$. В данном случае аргумент функции $u = \frac{x-3}{2}$.
Для нахождения области определения решим двойное неравенство: $-1 \le \frac{x-3}{2} \le 1$
Умножим все части неравенства на 2: $-2 \le x-3 \le 2$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства: $-2+3 \le x \le 2+3$
$1 \le x \le 5$
Следовательно, область определения функции — это отрезок $[1, 5]$.
Ответ: $x \in [1, 5]$.

2) Область определения функции $y = \arccos(u)$ задается неравенством $-1 \le u \le 1$. В данном случае аргумент функции $u = 2-3x$.
Решим двойное неравенство: $-1 \le 2-3x \le 1$
Вычтем 2 из всех частей неравенства: $-1-2 \le -3x \le 1-2$
$-3 \le -3x \le -1$
Разделим все части на -3, при этом изменив знаки неравенства на противоположные: $\frac{-1}{-3} \le x \le \frac{-3}{-3}$
$\frac{1}{3} \le x \le 1$
Следовательно, область определения функции — это отрезок $[\frac{1}{3}, 1]$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{3}, 1]$.

3) Область определения данной функции определяется двумя условиями:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент функции арккосинус должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le 2\sqrt{x}-3 \le 1$.
Решим второе условие (двойное неравенство): $-1 \le 2\sqrt{x}-3 \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям: $2 \le 2\sqrt{x} \le 4$
Разделим все части на 2: $1 \le \sqrt{x} \le 2$
Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $1^2 \le x \le 2^2$
$1 \le x \le 4$
Полученный отрезок $[1, 4]$ полностью удовлетворяет первому условию $x \ge 0$.
Ответ: $x \in [1, 4]$.

4) Аргумент функции арксинус должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le \frac{2x^2-5}{3} \le 1$
Умножим все части на 3: $-3 \le 2x^2-5 \le 3$
Это неравенство эквивалентно системе из двух неравенств: $2x^2-5 \ge -3$ и $2x^2-5 \le 3$.
Решим первое неравенство: $2x^2 \ge -3+5$ $2x^2 \ge 2$ $x^2 \ge 1$, что равносильно $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Решим второе неравенство: $2x^2 \le 3+5$ $2x^2 \le 8$ $x^2 \le 4$, что равносильно $x \in [-2, 2]$.
Найдем пересечение полученных множеств: $((-\infty, -1] \cup [1, \infty)) \cap [-2, 2]$.
Пересечением является объединение отрезков $[-2, -1]$ и $[1, 2]$.
Ответ: $x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$.

5) Область определения определяется двумя условиями:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент арккосинуса должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le \frac{2-\sqrt{x}}{3} \le 1$.
Решим второе условие: $-1 \le \frac{2-\sqrt{x}}{3} \le 1$
Умножим на 3: $-3 \le 2-\sqrt{x} \le 3$
Вычтем 2: $-5 \le -\sqrt{x} \le 1$
Умножим на -1, меняя знаки неравенства: $-1 \le \sqrt{x} \le 5$
Так как по определению $\sqrt{x} \ge 0$, левая часть неравенства $\sqrt{x} \ge -1$ выполняется для всех $x$, для которых корень определен. Остается решить неравенство $\sqrt{x} \le 5$.
Возведем в квадрат обе части: $x \le 25$.
Объединяя с первым условием $x \ge 0$, получаем область определения $0 \le x \le 25$.
Ответ: $x \in [0, 25]$.

6) Область определения определяется двумя условиями:
1. $x \ge 0$.
2. $-1 \le 3\sqrt{x}-2 \le 1$.
Решим второе неравенство: $-1 \le 3\sqrt{x}-2 \le 1$
Прибавим 2 ко всем частям: $1 \le 3\sqrt{x} \le 3$
Разделим на 3: $\frac{1}{3} \le \sqrt{x} \le 1$
Возведем в квадрат все части: $(\frac{1}{3})^2 \le x \le 1^2$
$\frac{1}{9} \le x \le 1$
Данный отрезок удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{9}, 1]$.

7) Аргумент функции арксинус должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le x^2-2 \le 1$
Прибавим 2 ко всем частям: $1 \le x^2 \le 3$
Это эквивалентно системе неравенств: $x^2 \ge 1$ и $x^2 \le 3$.
Из $x^2 \ge 1$ следует, что $x \le -1$ или $x \ge 1$, то есть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Из $x^2 \le 3$ следует, что $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$, то есть $x \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.
Найдем пересечение этих двух множеств: $((-\infty, -1] \cup [1, \infty)) \cap [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.
Пересечением является объединение отрезков $[-\sqrt{3}, -1]$ и $[1, \sqrt{3}]$.
Ответ: $x \in [-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}]$.

8) Аргумент функции арккосинус должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le x^2-x \le 1$
Это эквивалентно системе из двух неравенств:
1) $x^2-x \ge -1 \implies x^2-x+1 \ge 0$
2) $x^2-x \le 1 \implies x^2-x-1 \le 0$
Рассмотрим первое неравенство: $x^2-x+1 \ge 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), парабола $y = x^2-x+1$ полностью находится выше оси Ox, поэтому неравенство выполняется для любых действительных $x$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Рассмотрим второе неравенство: $x^2-x-1 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2-x-1=0$ через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Так как ветви параболы $y = x^2-x-1$ направлены вверх, неравенство $x^2-x-1 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $\frac{1-\sqrt{5}}{2} \le x \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Область определения функции является пересечением решений обоих неравенств, что совпадает с решением второго неравенства.
Ответ: $x \in [\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}]$.

102. Доказать, что график функции $y = \arccos x$ симметричен относительно точки $(0; \frac{\pi}{2})$.

Для того чтобы доказать, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно точки $(a; b)$, необходимо показать, что для любой точки $x$ из области определения функции, точка $2a - x$ также принадлежит области определения, и выполняется равенство:

$f(2a - x) + f(x) = 2b$

В нашем случае функция $f(x) = \arccos x$, а точка, относительно которой проверяется симметрия, — $(a; b) = (0; \frac{\pi}{2})$.

Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $D(f) = [-1, 1]$. Эта область определения симметрична относительно точки $x=0$, так как если $x \in [-1, 1]$, то и $-x = 2 \cdot 0 - x$ также принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Подставим значения $a=0$ и $b=\frac{\pi}{2}$ в условие симметрии:

$f(2 \cdot 0 - x) + f(x) = 2 \cdot \frac{\pi}{2}$

$f(-x) + f(x) = \pi$

Подставляя нашу функцию $f(x) = \arccos x$, получаем тождество, которое необходимо доказать:

$\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$

Докажем это тождество. Пусть $\alpha = \arccos(x)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = x$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Теперь рассмотрим выражение $\arccos(-x)$. Нам нужно найти угол $\beta$, такой что $\cos(\beta) = -x$ и $0 \le \beta \le \pi$.

Известно тригонометрическое тождество: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Так как $\cos(\alpha) = x$, то $\cos(\pi - \alpha) = -x$.

Также, поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, для угла $\pi - \alpha$ выполняются неравенства:

$- \pi \le -\alpha \le 0$

$\pi - \pi \le \pi - \alpha \le \pi + 0$

$0 \le \pi - \alpha \le \pi$

Таким образом, угол $\pi - \alpha$ удовлетворяет обоим условиям для арккосинуса от $-x$: его косинус равен $-x$, и он лежит в промежутке $[0, \pi]$. Следовательно, мы можем утверждать, что:

$\arccos(-x) = \pi - \alpha$

Подставляя обратно $\alpha = \arccos(x)$, получаем:

$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$

Перенося $\arccos(x)$ в левую часть, мы получаем искомое тождество:

$\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$

Так как это тождество выполняется для всех $x$ из области определения функции $y = \arccos x$, то график этой функции действительно симметричен относительно точки $(0; \frac{\pi}{2})$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.