Номер 102, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Обратные тригонометрические функции. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 102, страница 41.
№102 (с. 41)
Условие. №102 (с. 41)
скриншот условия

102. Доказать, что график функции $y = \arccos x$ симметричен относительно точки $(0; \frac{\pi}{2})$.
Решение 1. №102 (с. 41)

Решение 2. №102 (с. 41)


Решение 3. №102 (с. 41)
Для того чтобы доказать, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно точки $(a; b)$, необходимо показать, что для любой точки $x$ из области определения функции, точка $2a - x$ также принадлежит области определения, и выполняется равенство:
$f(2a - x) + f(x) = 2b$
В нашем случае функция $f(x) = \arccos x$, а точка, относительно которой проверяется симметрия, — $(a; b) = (0; \frac{\pi}{2})$.
Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $D(f) = [-1, 1]$. Эта область определения симметрична относительно точки $x=0$, так как если $x \in [-1, 1]$, то и $-x = 2 \cdot 0 - x$ также принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Подставим значения $a=0$ и $b=\frac{\pi}{2}$ в условие симметрии:
$f(2 \cdot 0 - x) + f(x) = 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
$f(-x) + f(x) = \pi$
Подставляя нашу функцию $f(x) = \arccos x$, получаем тождество, которое необходимо доказать:
$\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$
Докажем это тождество. Пусть $\alpha = \arccos(x)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = x$ и $0 \le \alpha \le \pi$.
Теперь рассмотрим выражение $\arccos(-x)$. Нам нужно найти угол $\beta$, такой что $\cos(\beta) = -x$ и $0 \le \beta \le \pi$.
Известно тригонометрическое тождество: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Так как $\cos(\alpha) = x$, то $\cos(\pi - \alpha) = -x$.
Также, поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, для угла $\pi - \alpha$ выполняются неравенства:
$- \pi \le -\alpha \le 0$
$\pi - \pi \le \pi - \alpha \le \pi + 0$
$0 \le \pi - \alpha \le \pi$
Таким образом, угол $\pi - \alpha$ удовлетворяет обоим условиям для арккосинуса от $-x$: его косинус равен $-x$, и он лежит в промежутке $[0, \pi]$. Следовательно, мы можем утверждать, что:
$\arccos(-x) = \pi - \alpha$
Подставляя обратно $\alpha = \arccos(x)$, получаем:
$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$
Перенося $\arccos(x)$ в левую часть, мы получаем искомое тождество:
$\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$
Так как это тождество выполняется для всех $x$ из области определения функции $y = \arccos x$, то график этой функции действительно симметричен относительно точки $(0; \frac{\pi}{2})$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 102 расположенного на странице 41 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №102 (с. 41), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.