Номер 102, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 102, страница 41.

Условие.

102. Доказать, что график функции $y = \arccos x$ симметричен относительно точки $(0; \frac{\pi}{2})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно точки $(a; b)$, необходимо показать, что для любой точки $x$ из области определения функции, точка $2a - x$ также принадлежит области определения, и выполняется равенство:

$f(2a - x) + f(x) = 2b$

В нашем случае функция $f(x) = \arccos x$, а точка, относительно которой проверяется симметрия, — $(a; b) = (0; \frac{\pi}{2})$.

Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $D(f) = [-1, 1]$. Эта область определения симметрична относительно точки $x=0$, так как если $x \in [-1, 1]$, то и $-x = 2 \cdot 0 - x$ также принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Подставим значения $a=0$ и $b=\frac{\pi}{2}$ в условие симметрии:

$f(2 \cdot 0 - x) + f(x) = 2 \cdot \frac{\pi}{2}$

$f(-x) + f(x) = \pi$

Подставляя нашу функцию $f(x) = \arccos x$, получаем тождество, которое необходимо доказать:

$\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$

Докажем это тождество. Пусть $\alpha = \arccos(x)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = x$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Теперь рассмотрим выражение $\arccos(-x)$. Нам нужно найти угол $\beta$, такой что $\cos(\beta) = -x$ и $0 \le \beta \le \pi$.

Известно тригонометрическое тождество: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Так как $\cos(\alpha) = x$, то $\cos(\pi - \alpha) = -x$.

Также, поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, для угла $\pi - \alpha$ выполняются неравенства:

$- \pi \le -\alpha \le 0$

$\pi - \pi \le \pi - \alpha \le \pi + 0$

$0 \le \pi - \alpha \le \pi$

Таким образом, угол $\pi - \alpha$ удовлетворяет обоим условиям для арккосинуса от $-x$: его косинус равен $-x$, и он лежит в промежутке $[0, \pi]$. Следовательно, мы можем утверждать, что:

$\arccos(-x) = \pi - \alpha$

Подставляя обратно $\alpha = \arccos(x)$, получаем:

$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$

Перенося $\arccos(x)$ в левую часть, мы получаем искомое тождество:

$\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$

Так как это тождество выполняется для всех $x$ из области определения функции $y = \arccos x$, то график этой функции действительно симметричен относительно точки $(0; \frac{\pi}{2})$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.