Номер 107, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 107, страница 42.

Условие.

107. Найти функцию, обратную к функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; 0]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти функцию, обратную к функции $y = \cos x$ на заданном отрезке $[-\pi; 0]$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Проверка на монотонность. Функция имеет обратную на некотором промежутке, если она на этом промежутке строго монотонна (то есть только возрастает или только убывает). Найдем производную функции $y = \cos x$: $y' = (\cos x)' = -\sin x$ На интервале $(-\pi; 0)$ функция $\sin x$ принимает отрицательные значения (т.е. $\sin x < 0$). Следовательно, производная $y' = -\sin x$ на этом интервале положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \cos x$ строго возрастает на отрезке $[-\pi; 0]$, и, следовательно, обратная функция на этом отрезке существует.

2. Определение области определения и области значений. Для исходной функции $y = \cos x$:

• Область определения задана условием: $D(y) = [-\pi; 0]$.
• Область значений $E(y)$ найдем, подставив граничные значения отрезка, так как функция монотонна:
  при $x = -\pi$, $y = \cos(-\pi) = -1$
  при $x = 0$, $y = \cos(0) = 1$
  Таким образом, область значений исходной функции: $E(y) = [-1; 1]$.

Для обратной функции область определения и область значений меняются местами. То есть для обратной функции область определения будет $[-1; 1]$, а область значений — $[-\pi; 0]$.

3. Нахождение выражения для обратной функции. Из уравнения $y = \cos x$ нам нужно выразить $x$ через $y$. Стандартная функция арккосинус, $x = \arccos y$, по определению имеет область значений $[0; \pi]$. Нам же нужно, чтобы $x$ принадлежал отрезку $[-\pi; 0]$.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(x) = \cos(-x)$. Так как $x \in [-\pi; 0]$, то $-x \in [0; \pi]$. Наше уравнение $y = \cos x$ можно переписать как $y = \cos(-x)$. Теперь, так как аргумент $(-x)$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, мы можем применить к этому уравнению стандартную функцию арккосинус: $-x = \arccos y$ Выразим отсюда $x$: $x = -\arccos y$

Полученное выражение $x = -\arccos y$ и есть искомая обратная зависимость. По традиции, при записи функции независимую переменную обозначают через $x$, а зависимую — через $y$. Поменяв переменные местами, получаем вид обратной функции: $y = -\arccos x$

Проверим область значений этой функции. Область значений функции $\arccos x$ — это $[0; \pi]$. Следовательно, область значений функции $-\arccos x$ — это $[-\pi; 0]$, что соответствует нашим требованиям.

Ответ: $y = -\arccos x$.