Номер 107, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 6. Обратные тригонометрические функции. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 107, страница 42.

№107 (с. 42)
Условие. №107 (с. 42)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 42, номер 107, Условие

107. Найти функцию, обратную к функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; 0]$.

Решение 1. №107 (с. 42)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 42, номер 107, Решение 1
Решение 2. №107 (с. 42)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 42, номер 107, Решение 2
Решение 3. №107 (с. 42)

Для того чтобы найти функцию, обратную к функции $y = \cos x$ на заданном отрезке $[-\pi; 0]$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Проверка на монотонность. Функция имеет обратную на некотором промежутке, если она на этом промежутке строго монотонна (то есть только возрастает или только убывает). Найдем производную функции $y = \cos x$: $y' = (\cos x)' = -\sin x$ На интервале $(-\pi; 0)$ функция $\sin x$ принимает отрицательные значения (т.е. $\sin x < 0$). Следовательно, производная $y' = -\sin x$ на этом интервале положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \cos x$ строго возрастает на отрезке $[-\pi; 0]$, и, следовательно, обратная функция на этом отрезке существует.

2. Определение области определения и области значений. Для исходной функции $y = \cos x$:

  • Область определения задана условием: $D(y) = [-\pi; 0]$.
  • Область значений $E(y)$ найдем, подставив граничные значения отрезка, так как функция монотонна:
    при $x = -\pi$, $y = \cos(-\pi) = -1$
    при $x = 0$, $y = \cos(0) = 1$
    Таким образом, область значений исходной функции: $E(y) = [-1; 1]$.

Для обратной функции область определения и область значений меняются местами. То есть для обратной функции область определения будет $[-1; 1]$, а область значений — $[-\pi; 0]$.

3. Нахождение выражения для обратной функции. Из уравнения $y = \cos x$ нам нужно выразить $x$ через $y$. Стандартная функция арккосинус, $x = \arccos y$, по определению имеет область значений $[0; \pi]$. Нам же нужно, чтобы $x$ принадлежал отрезку $[-\pi; 0]$.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(x) = \cos(-x)$. Так как $x \in [-\pi; 0]$, то $-x \in [0; \pi]$. Наше уравнение $y = \cos x$ можно переписать как $y = \cos(-x)$. Теперь, так как аргумент $(-x)$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, мы можем применить к этому уравнению стандартную функцию арккосинус: $-x = \arccos y$ Выразим отсюда $x$: $x = -\arccos y$

Полученное выражение $x = -\arccos y$ и есть искомая обратная зависимость. По традиции, при записи функции независимую переменную обозначают через $x$, а зависимую — через $y$. Поменяв переменные местами, получаем вид обратной функции: $y = -\arccos x$

Проверим область значений этой функции. Область значений функции $\arccos x$ — это $[0; \pi]$. Следовательно, область значений функции $-\arccos x$ — это $[-\pi; 0]$, что соответствует нашим требованиям.

Ответ: $y = -\arccos x$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 107 расположенного на странице 42 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №107 (с. 42), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.