Номер 108, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 108, страница 42.

Условие.

108. Найти область определения функции:

1) $y = \sin x + \cos x$;

2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$;

3) $y = \sqrt{\sin x}$;

4) $y = \sqrt{\cos x}$;

5) $y = \frac{2x}{2\sin x - 1}$;

6) $y = \frac{\cos x}{2\sin^2 x - \sin x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Область определения функции $y = \sin x + \cos x$. Функция $y = \sin x$ определена для всех действительных чисел, то есть $x \in \mathbb{R}$. Функция $y = \cos x$ также определена для всех действительных чисел, то есть $x \in \mathbb{R}$. Область определения суммы двух функций является пересечением их областей определения. Пересечением множеств $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$ является множество $\mathbb{R}$. Следовательно, функция определена для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2) Область определения функции $y = \sin x + \operatorname{tg} x$. Функция $y = \sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция тангенса $y = \operatorname{tg} x$ определена как отношение $\frac{\sin x}{\cos x}$. Она не определена в точках, где знаменатель $\cos x$ равен нулю. Решим уравнение $\cos x = 0$. Корнями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Область определения исходной функции — это все действительные числа, за исключением тех, в которых не определен тангенс.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\sin x}$. Функция квадратного корня определена только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, должно выполняться условие $\sin x \ge 0$. Используя тригонометрическую окружность, находим, что синус неотрицателен в I и II координатных четвертях. Это соответствует интервалу $[0, \pi]$ для одного периода. Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение неравенства имеет вид: $2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{\cos x}$. Аналогично предыдущему случаю, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\cos x \ge 0$. Косинус неотрицателен в I и IV координатных четвертях. Это соответствует интервалу $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ для одного периода. Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, общее решение неравенства: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

5) Область определения функции $y = \frac{2x}{2\sin x - 1}$. Данная функция является дробной, поэтому ее область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $2\sin x - 1 = 0$. Отсюда получаем $\sin x = \frac{1}{2}$. Решениями этого уравнения являются $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $x \neq (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Область определения функции $y = \frac{\cos x}{2\sin^2 x - \sin x}$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2\sin^2 x - \sin x \neq 0$. Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x(2\sin x - 1) \neq 0$. Это условие выполняется, когда оба множителя не равны нулю:
1) $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x - 1 \neq 0$, что означает $\sin x \neq \frac{1}{2}$. Это дает $x \neq (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область определения — это все действительные числа, кроме указанных серий значений.
Ответ: $x \neq \pi n$ и $x \neq (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.