Номер 109, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 109, страница 42.

Условие.

109. Найти множество значений функции:

1) $y = 1 - 2\sin^2 x;$

2) $y = 2\cos^2 x - 1;$

3) $y = 3 - 2\sin^2 x;$

4) $y = 2\cos^2 x + 5;$

5) $y = \cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x + 4;$

6) $y = \cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x - 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения множества значений функции $y = 1 - 2\sin^2x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Применив эту формулу для $\alpha=x$, получаем, что исходная функция эквивалентна $y = \cos(2x)$. Множество значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку аргумент $2x$ пробегает все действительные значения, множество значений функции $y=\cos(2x)$ также будет $[-1, 1]$.
Ответ: $[-1, 1]$.

2) Для функции $y = 2\cos^2x - 1$ также применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. При $\alpha=x$ функция принимает вид $y = \cos(2x)$. Множество значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, поэтому множество значений данной функции — это $[-1, 1]$.
Ответ: $[-1, 1]$.

3) Преобразуем данную функцию: $y = 3 - 2\sin^2x$. Выделим выражение для косинуса двойного угла: $y = 2 + (1 - 2\sin^2x)$. Так как $1 - 2\sin^2x = \cos(2x)$, функция принимает вид $y = 2 + \cos(2x)$. Множество значений для $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$, т.е. $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Чтобы найти множество значений $y$, прибавим $2$ ко всем частям этого неравенства: $2-1 \le 2 + \cos(2x) \le 2+1$, что дает $1 \le y \le 3$.
Ответ: $[1, 3]$.

4) Преобразуем функцию $y = 2\cos^2x + 5$. Из формулы $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$ выразим $2\cos^2x = \cos(2x) + 1$. Подставим это в исходное уравнение: $y = (\cos(2x) + 1) + 5$, что упрощается до $y = \cos(2x) + 6$. Множество значений для $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Тогда $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Прибавим $6$ ко всем частям неравенства: $6-1 \le \cos(2x) + 6 \le 6+1$, что дает $5 \le y \le 7$.
Ответ: $[5, 7]$.

5) Упростим выражение $y = \cos(3x)\sin(x) - \sin(3x)\cos(x) + 4$. Первые два слагаемых представляют собой формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. В нашем случае $\cos(3x)\sin(x) - \sin(3x)\cos(x) = \sin(x-3x) = \sin(-2x)$. Так как синус — нечетная функция, $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. Таким образом, функция сводится к $y = -\sin(2x) + 4$. Множество значений для $\sin(2x)$ — это $[-1, 1]$, значит, $-1 \le \sin(2x) \le 1$. Умножим на $-1$ (знаки неравенства изменятся): $1 \ge -\sin(2x) \ge -1$, или $-1 \le -\sin(2x) \le 1$. Прибавим $4$ ко всем частям: $4-1 \le -\sin(2x)+4 \le 4+1$, что дает $3 \le y \le 5$.
Ответ: $[3, 5]$.

6) Упростим выражение $y = \cos(2x)\cos(x) + \sin(2x)\sin(x) - 3$. Первые два слагаемых представляют собой формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. В нашем случае $\cos(2x)\cos(x) + \sin(2x)\sin(x) = \cos(2x-x) = \cos(x)$. Таким образом, функция сводится к $y = \cos(x) - 3$. Множество значений для $\cos(x)$ — это $[-1, 1]$, т.е. $-1 \le \cos(x) \le 1$. Вычтем $3$ из всех частей неравенства: $-1-3 \le \cos(x)-3 \le 1-3$, что дает $-4 \le y \le -2$.
Ответ: $[-4, -2]$.