Номер 105, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 6. Обратные тригонометрические функции. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 105, страница 42.

Условие.

105. Доказать, что $ \arccos(-x) = \pi - \arccos x $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства тождества $ \arccos(-x) = \pi - \arccos x $ необходимо показать, что это равенство выполняется для всех $x$ из области определения функции арккосинус, то есть для $x \in [-1, 1]$.

Введем обозначение: пусть $ y = \arccos(-x) $.

Согласно определению арккосинуса, это равенство означает, что одновременно выполняются два условия: 1) $ \cos(y) = -x $ и 2) $ 0 \le y \le \pi $.

Из первого условия выразим $x$: $ x = -\cos(y) $.

Воспользуемся известной тригонометрической формулой приведения: $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $. Применив ее к нашему выражению для $x$, получим:

$ x = \cos(\pi - y) $

Теперь возьмем арккосинус от обеих частей этого равенства:

$ \arccos(x) = \arccos(\cos(\pi - y)) $

По определению, $ \arccos(\cos(\alpha)) = \alpha $ только в том случае, если $ \alpha $ принадлежит основному промежутку для арккосинуса, то есть $ \alpha \in [0, \pi] $. Проверим, выполняется ли это условие для нашего случая, где $ \alpha = \pi - y $.

Из условия (2) мы знаем, что $ 0 \le y \le \pi $.

Умножим это двойное неравенство на $-1$. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$ -\pi \le -y \le 0 $

Теперь прибавим $ \pi $ ко всем частям неравенства:

$ \pi - \pi \le \pi - y \le \pi + 0 $

Упростив, получаем:

$ 0 \le \pi - y \le \pi $

Это означает, что выражение $ \pi - y $ находится в требуемом промежутке $ [0, \pi] $. Следовательно, мы можем упростить равенство:

$ \arccos(\cos(\pi - y)) = \pi - y $

Таким образом, наше уравнение $ \arccos(x) = \arccos(\cos(\pi - y)) $ принимает вид:

$ \arccos(x) = \pi - y $

Теперь выразим из этого уравнения $y$:

$ y = \pi - \arccos(x) $

В самом начале мы сделали замену $ y = \arccos(-x) $. Подставив это значение обратно, мы получаем искомое тождество:

$ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Для доказательства тождества $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $ введем обозначение $ y = \arccos(-x) $. По определению арккосинуса, это эквивалентно системе: $ \begin{cases} \cos(y) = -x \\ 0 \le y \le \pi \end{cases} $. Из первого уравнения следует $ x = -\cos(y) $. Используя формулу приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем $ x = \cos(\pi - y) $. Отсюда $ \arccos(x) = \arccos(\cos(\pi - y)) $. Проверим, что выражение $ \pi - y $ принадлежит области значений арккосинуса, то есть отрезку $ [0, \pi] $. Так как $ 0 \le y \le \pi $, то $ -\pi \le -y \le 0 $, и, прибавив $ \pi $, получим $ 0 \le \pi - y \le \pi $. Условие выполняется, следовательно, $ \arccos(\cos(\pi - y)) = \pi - y $. Таким образом, мы имеем $ \arccos(x) = \pi - y $. Заменяя $ y $ на $ \arccos(-x) $, получаем $ \arccos(x) = \pi - \arccos(-x) $, что эквивалентно доказываемому тождеству $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.