Номер 99, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 99, страница 41.

Условие.

99. 1) $\arccos(2x + 3) = \frac{\pi}{3}$;

2) $\arccos(3x + 1) = \frac{\pi}{2}$;

3) $\arccos \frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$;

4) $\arccos \frac{2x-1}{3} = \pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $arccos(2x + 3) = \frac{\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, уравнение $arccos(a) = b$ равносильно $a = cos(b)$ при условии, что $b$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

В данном уравнении правая часть $\frac{\pi}{3}$ удовлетворяет этому условию. Следовательно, мы можем переписать уравнение в виде:

$2x + 3 = cos(\frac{\pi}{3})$

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ составляет $\frac{1}{2}$.

$2x + 3 = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = \frac{1}{2} - 3$

$2x = \frac{1}{2} - \frac{6}{2}$

$2x = -\frac{5}{2}$

$x = -\frac{5}{4}$

Ответ: $x = -\frac{5}{4}$.

2) Решим уравнение $arccos(3x + 1) = \frac{\pi}{2}$.

Согласно определению арккосинуса, и так как $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$, уравнение можно преобразовать:

$3x + 1 = cos(\frac{\pi}{2})$

Вычислим значение косинуса:

$cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Подставим это значение в уравнение:

$3x + 1 = 0$

Решим уравнение относительно $x$:

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

3) Решим уравнение $arccos\frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Правая часть уравнения, $\frac{2\pi}{3}$, находится в области значений арккосинуса $[0, \pi]$. Применим определение арккосинуса:

$\frac{x+1}{3} = cos(\frac{2\pi}{3})$

Значение косинуса для угла $\frac{2\pi}{3}$ равно $-\frac{1}{2}$.

$\frac{x+1}{3} = -\frac{1}{2}$

Теперь решим это уравнение для $x$:

$x+1 = 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x+1 = -\frac{3}{2}$

$x = -\frac{3}{2} - 1$

$x = -\frac{3}{2} - \frac{2}{2}$

$x = -\frac{5}{2}$

Ответ: $x = -\frac{5}{2}$.

4) Решим уравнение $arccos\frac{2x-1}{3} = \pi$.

Значение $\pi$ является допустимым значением для арккосинуса. По определению, мы можем записать:

$\frac{2x-1}{3} = cos(\pi)$

Вычислим значение косинуса:

$cos(\pi) = -1$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{2x-1}{3} = -1$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x - 1 = -3$

$2x = -3 + 1$

$2x = -2$

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.