Номер 93, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x - номер 93, страница 36.

Условие.

93. 1) $y=\text{tg} \left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y=\text{ctg} \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В обоих случаях задача состоит в том, чтобы найти область определения функции. Область определения - это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

1)

Рассмотрим функцию $y = \tg(3x - \frac{\pi}{4})$.

Функция тангенс $y = \tg(z)$ определена для всех значений своего аргумента $z$, кроме тех, в которых косинус равен нулю, так как $\tg(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)}$. Косинус равен нулю при $z = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, для нашей функции должно выполняться условие:

$3x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь решим это неравенство относительно $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть, изменив знак:

$3x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$3x \neq \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi k$

$3x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x \neq \frac{3\pi}{4 \cdot 3} + \frac{\pi k}{3}$

$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$ для всех целых $k$.

Ответ: область определения функции $D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \ctg(2x - \frac{\pi}{3})$.

Функция котангенс $y = \ctg(z)$ определена для всех значений своего аргумента $z$, кроме тех, в которых синус равен нулю, так как $\ctg(z) = \frac{\cos(z)}{\sin(z)}$. Синус равен нулю при $z = \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, для нашей функции должно выполняться условие:

$2x - \frac{\pi}{3} \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решим это неравенство относительно $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$2x \neq \frac{\pi}{3} + \pi k$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \neq \frac{\pi}{3 \cdot 2} + \frac{\pi k}{2}$

$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$ для всех целых $k$.

Ответ: область определения функции $D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.