Номер 88, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 88, страница 36.

Условие.

88. Найти все принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ решения неравенства:

1) $tg 2x \le 1$;

2) $tg 3x < -\sqrt{3}$;

3) $ctg \frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) $ctg \frac{x}{3} \ge 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\text{tg}\,2x \le 1$

Сначала решим неравенство в общем виде. Введем замену $t = 2x$, тогда неравенство примет вид $\text{tg}\,t \le 1$. Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является серия интервалов: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{4} + \pi n$. Сделаем обратную замену $t = 2x$: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x \le \frac{\pi}{4} + \pi n$. Разделим все части неравенства на 2: $-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$. Теперь найдем решения, принадлежащие заданному промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, перебирая целочисленные значения $n$.

• При $n = -1$: $-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2}$, что равносильно $-\frac{3\pi}{4} < x \le -\frac{3\pi}{8}$. Пересечение этого интервала с $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ дает промежуток $(-\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8}]$.
• При $n = 0$: $-\frac{\pi}{4} < x \le \frac{\pi}{8}$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• При $n = 1$: $-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}$, что равносильно $\frac{\pi}{4} < x \le \frac{5\pi}{8}$. Пересечение этого интервала с $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ дает промежуток $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$.

При других целых значениях $n$ решения не попадают в заданный промежуток. Объединив найденные промежутки, получим итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8}] \cup (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8}] \cup (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$

2) $\text{tg}\,3x < -\sqrt{3}$

Введем замену $t = 3x$, получим неравенство $\text{tg}\,t < -\sqrt{3}$. Его общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, имеем: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < -\frac{\pi}{3} + \pi n$. Подставим обратно $t = 3x$: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x < -\frac{\pi}{3} + \pi n$. Разделим на 3: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} < x < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$. Найдем решения, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, перебирая значения $n$.

• При $n = -1$: $-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3}$, что равносильно $-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{4\pi}{9}$. Этот интервал является решением.
• При $n = 0$: $-\frac{\pi}{6} < x < -\frac{\pi}{9}$. Этот интервал принадлежит заданному промежутку.
• При $n = 1$: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3}$, что равносильно $\frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{9}$. Этот интервал также является решением.

При других целых значениях $n$ решения не попадают в заданный промежуток. Объединим полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{4\pi}{9}) \cup (-\frac{\pi}{6}; -\frac{\pi}{9}) \cup (\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{9})$

3) $\text{ctg}\,\frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3}$

Пусть $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $\text{ctg}\,t < \frac{\sqrt{3}}{3}$. Общее решение этого неравенства: $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем: $\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \pi + \pi n$. Поскольку по условию $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то для $t=\frac{x}{2}$ имеем $t \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$. Найдем пересечение множества решений для $t$ с интервалом $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

• При $n = 0$ интервал $(\frac{\pi}{3}; \pi)$ не имеет общих точек с $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.
• При $n = -1$ имеем интервал $(\frac{\pi}{3} - \pi; \pi - \pi)$, то есть $(-\frac{2\pi}{3}; 0)$. Пересечение этого интервала с $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$ дает $(-\frac{\pi}{4}; 0)$.

При других значениях $n$ пересечений нет. Таким образом, решением для $t$ является интервал $-\frac{\pi}{4} < t < 0$. Сделаем обратную замену: $-\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < 0$. Умножим на 2: $-\frac{\pi}{2} < x < 0$. Этот интервал и является решением задачи.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; 0)$

4) $\text{ctg}\,\frac{x}{3} \ge 1$

Пусть $t = \frac{x}{3}$. Неравенство примет вид $\text{ctg}\,t \ge 1$. Общее решение этого неравенства: $\pi n < t \le \text{arcctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $\pi n < t \le \frac{\pi}{4} + \pi n$. По условию $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, $t = \frac{x}{3} \in (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$. Найдем пересечение общего решения для $t$ с интервалом $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$.

• При $n = 0$ получаем интервал $(0; \frac{\pi}{4}]$. Пересечение этого интервала с $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$ дает $(0; \frac{\pi}{6})$.

При других целых значениях $n$ пересечений с интервалом $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$ не будет. Таким образом, решением для $t$ является $0 < t < \frac{\pi}{6}$. Сделаем обратную замену: $0 < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{6}$. Умножим на 3: $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Этот интервал и является решением задачи.

Ответ: $x \in (0; \frac{\pi}{2})$