Номер 81, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 81, страница 35.

Условие.

81. Найти все принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$ решения неравенства:

1) $\text{tg } x \ge 1$;

2) $\text{tg } x < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

3) $\text{ctg } x < -1$;

4) $\text{ctg } x \ge -\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) tg x ≥ 1

Сначала решим уравнение $\text{tg } x = 1$. Основное решение этого уравнения $x = \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Поскольку период тангенса равен $\pi$, общее решение уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Поэтому неравенство $\text{tg } x \ge 1$ выполняется при $x$, принадлежащих промежуткам от $\frac{\pi}{4}$ (включительно) до ближайшей вертикальной асимптоты $\frac{\pi}{2}$.

Общее решение неравенства: $\frac{\pi}{4} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все решения, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$, перебирая целые значения $k$:

• При $k = -1$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4} - \pi; \frac{\pi}{2} - \pi)$, то есть $[-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{2})$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 0$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 1$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4} + \pi; \frac{\pi}{2} + \pi)$, то есть $[\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 2$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4} + 2\pi; \frac{\pi}{2} + 2\pi)$, который находится правее $2\pi$.
• При $k = -2$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4} - 2\pi; \frac{\pi}{2} - 2\pi)$, который находится левее $-\pi$.

Объединяя найденные промежутки, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{2}) \cup [\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$.

2) tg x < $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Решим уравнение $\text{tg } x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Основное решение: $x = \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$. Общее решение уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как функция $y = \text{tg } x$ возрастающая, неравенство $\text{tg } x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется на промежутках от вертикальной асимптоты $-\frac{\pi}{2}$ до значения $\frac{\pi}{6}$ (не включая его).

Общее решение неравенства: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$:

• При $k = -1$: получаем $(-\frac{\pi}{2} - \pi; \frac{\pi}{6} - \pi)$, то есть $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{5\pi}{6})$. Пересечение с интервалом $(-\pi; 2\pi)$ дает $(-\pi; -\frac{5\pi}{6})$.
• При $k = 0$: получаем $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6})$. Промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 1$: получаем $(-\frac{\pi}{2} + \pi; \frac{\pi}{6} + \pi)$, то есть $(\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6})$. Промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 2$: получаем $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi; \frac{\pi}{6} + 2\pi)$, то есть $(\frac{3\pi}{2}; \frac{13\pi}{6})$. Пересечение с интервалом $(-\pi; 2\pi)$ дает $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.

Объединяя найденные решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\pi; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.

3) ctg x < -1

Решим уравнение $\text{ctg } x = -1$. Основное решение $x = \text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$. Общее решение уравнения: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $y = \text{ctg } x$ является убывающей на каждом из интервалов своей области определения $(\pi n; \pi + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Поэтому неравенство $\text{ctg } x < -1$ выполняется на промежутках от $\frac{3\pi}{4}$ до ближайшей вертикальной асимптоты $\pi$.

Общее решение неравенства: $\frac{3\pi}{4} + \pi k < x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем решения, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$:

• При $k = -1$: получаем $(\frac{3\pi}{4} - \pi; \pi - \pi)$, то есть $(-\frac{\pi}{4}; 0)$. Промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 0$: получаем $(\frac{3\pi}{4}; \pi)$. Промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 1$: получаем $(\frac{3\pi}{4} + \pi; \pi + \pi)$, то есть $(\frac{7\pi}{4}; 2\pi)$. Пересечение с $(-\pi; 2\pi)$ дает $(\frac{7\pi}{4}; 2\pi)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4}; 0) \cup (\frac{3\pi}{4}; \pi) \cup (\frac{7\pi}{4}; 2\pi)$.

4) ctg x ≥ -$\sqrt{3}$

Решим уравнение $\text{ctg } x = -\sqrt{3}$. Основное решение $x = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$. Общее решение уравнения: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как функция $y = \text{ctg } x$ убывающая, неравенство $\text{ctg } x \ge -\sqrt{3}$ выполняется на промежутках от вертикальной асимптоты (например, $0$) до значения $\frac{5\pi}{6}$ (включительно).

Общее решение неравенства: $\pi k < x \le \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем решения, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$:

• При $k = -1$: получаем $(\pi(-1); \frac{5\pi}{6} + \pi(-1)]$, то есть $(-\pi; -\frac{\pi}{6}]$. Этот промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 0$: получаем $(0; \frac{5\pi}{6}]$. Этот промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 1$: получаем $(\pi; \frac{5\pi}{6} + \pi]$, то есть $(\pi; \frac{11\pi}{6}]$. Этот промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{6}] \cup (0; \frac{5\pi}{6}] \cup (\pi; \frac{11\pi}{6}]$.