Номер 78, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x - номер 78, страница 35.

Условие.

78. Выяснить, принадлежит ли графику функции $y = \text{tg } 2x$ точка с координатами:

1) $(\frac{3\pi}{8}; -1)$;

2) $(\frac{13\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$;

3) $(\frac{14\pi}{3}; \sqrt{3})$;

4) $(-\frac{17\pi}{8}; -1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выяснить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = \tg 2x$, необходимо подставить значение $x_0$ в уравнение функции и проверить, будет ли полученное значение $y$ равно $y_0$.

1) $(\frac{3\pi}{8}; -1)$

Подставим $x = \frac{3\pi}{8}$ в уравнение функции:

$y = \tg(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = \tg(\frac{6\pi}{8}) = \tg(\frac{3\pi}{4})$.

Значение тангенса для угла $\frac{3\pi}{4}$ равно $-1$.

$\tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

Полученное значение $y = -1$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

2) $(\frac{13\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$

Подставим $x = \frac{13\pi}{6}$ в уравнение функции:

$y = \tg(2 \cdot \frac{13\pi}{6}) = \tg(\frac{26\pi}{6}) = \tg(\frac{13\pi}{3})$.

Используем периодичность тангенса, период которого равен $\pi$. Выделим целое число периодов:

$\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.

$\tg(\frac{13\pi}{3}) = \tg(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Полученное значение $y = \sqrt{3}$ не совпадает с ординатой данной точки $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

3) $(\frac{14\pi}{3}; \sqrt{3})$

Подставим $x = \frac{14\pi}{3}$ в уравнение функции:

$y = \tg(2 \cdot \frac{14\pi}{3}) = \tg(\frac{28\pi}{3})$.

Используем периодичность тангенса:

$\frac{28\pi}{3} = \frac{27\pi + \pi}{3} = 9\pi + \frac{\pi}{3}$.

$\tg(\frac{28\pi}{3}) = \tg(9\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Полученное значение $y = \sqrt{3}$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

4) $(-\frac{17\pi}{8}; -1)$

Подставим $x = -\frac{17\pi}{8}$ в уравнение функции:

$y = \tg(2 \cdot (-\frac{17\pi}{8})) = \tg(-\frac{17\pi}{4})$.

Так как тангенс — нечетная функция, $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$:

$\tg(-\frac{17\pi}{4}) = -\tg(\frac{17\pi}{4})$.

Используем периодичность тангенса:

$\frac{17\pi}{4} = \frac{16\pi + \pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$.

$-\tg(\frac{17\pi}{4}) = -\tg(4\pi + \frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Полученное значение $y = -1$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.