Номер 71, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 71, страница 28.

Условие.

71. Построить график функции:

1) $y = \sin|x|;$

2) $y = |\sin x|;$

3) $y = \sin x - x;$

4) $y = \log_{\frac{1}{2}}\sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \sin|x|$

Для построения графика функции $y = \sin|x|$ воспользуемся правилом построения графиков вида $y = f(|x|)$.

Функция $y = \sin|x|$ является чётной, так как $y(-x) = \sin|-x| = \sin|x| = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Построение графика можно разбить на следующие шаги:

1. Строим график функции $y = \sin x$ для неотрицательных значений аргумента, то есть для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, поэтому графики функций $y = \sin|x|$ и $y = \sin x$ совпадают.

2. Отбрасываем часть графика $y = \sin x$, которая находится в левой полуплоскости (где $x < 0$).

3. Оставшуюся часть графика (для $x \ge 0$) симметрично отражаем относительно оси $Oy$. Полученное объединение и будет искомым графиком.

В результате график для $x \ge 0$ представляет собой обычную синусоиду, начинающуюся из начала координат. Для $x < 0$ график является зеркальным отражением правой части. В точке $x=0$ образуется "излом" (острый угол), так как производная слева в этой точке равна -1, а справа 1.

Ответ: График функции $y = \sin|x|$ получается из графика $y = \sin x$ для $x \ge 0$ путём его симметричного отражения относительно оси $Oy$.

2) $y = |\sin x|$

Для построения графика функции $y = |\sin x|$ воспользуемся правилом построения графиков вида $y = |f(x)|$.

Значение функции $y$ всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$. Это означает, что весь график будет расположен в верхней полуплоскости (над осью $Ox$ или на ней).

Построение графика выполняется следующим образом:

1. Сначала строим график функции $y = \sin x$.

2. Части графика, которые лежат выше или на оси $Ox$ (где $\sin x \ge 0$), оставляем без изменений.

3. Части графика, которые лежат ниже оси $Ox$ (где $\sin x < 0$), симметрично отражаем относительно оси $Ox$.

В результате все отрицательные "полуволны" синусоиды становятся положительными. График представляет собой последовательность одинаковых положительных "арок". Функция является периодической. Исходный период функции $\sin x$ равен $2\pi$, но у функции $|\sin x|$ период становится вдвое меньше и равен $\pi$.

Ответ: График функции $y = |\sin x|$ получается из графика $y = \sin x$ путём отражения всех его частей, лежащих ниже оси $Ox$, симметрично относительно этой оси.

3) $y = \sin x - x$

Для построения графика этой функции можно использовать метод сложения графиков. Представим функцию как сумму двух функций: $y_1 = \sin x$ и $y_2 = -x$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin x$ — стандартную синусоиду.

2. На той же координатной плоскости строим график функции $y_2 = -x$ — прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом -1.

3. Для получения искомого графика для каждой точки $x$ на оси абсцисс складываем ординаты (значения y) графиков $y_1$ и $y_2$.

Проведём более детальный анализ функции:

• Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.

• Функция является нечётной, так как $y(-x) = \sin(-x) - (-x) = -\sin x + x = -(\sin x - x) = -y(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно начала координат.

• Поскольку значение $\sin x$ ограничено ($|\sin x| \le 1$), при больших значениях $|x|$ поведение функции определяется слагаемым $-x$. График функции колеблется вокруг прямой $y = -x$ и заключен между двумя прямыми $y = 1 - x$ и $y = -1 - x$.

• Найдём производную: $y' = (\sin x - x)' = \cos x - 1$. Так как $\cos x \le 1$, производная $y' \le 0$ при всех $x$. Это означает, что функция является неубывающей. Она строго убывает везде, кроме точек, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. В этих точках касательная к графику горизонтальна, и это точки перегиба.

• Точки пересечения с прямой $y=-x$ находятся там, где $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k$ — целое число.

Ответ: График функции $y = \sin x - x$ представляет собой монотонно убывающую кривую, которая колеблется вокруг прямой $y=-x$ и пересекает её в точках $x=\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

4) $y = \log_{\frac{1}{2}} \sin x$

Для построения графика этой сложной функции проанализируем её свойства.

1. Область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому требуется выполнение условия $\sin x > 0$. Это неравенство справедливо на интервалах вида $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Вне этих интервалов функция не определена.

2. Поведение на границах области определения. Когда $x$ стремится к концам этих интервалов (например, $x \to 2\pi k^+$ или $x \to (\pi + 2\pi k)^-$), значение $\sin x$ стремится к $0^+$. Так как основание логарифма $1/2$ меньше 1, логарифм от числа, стремящегося к нулю, стремится к $+\infty$. $ \lim_{x \to 2\pi k^+} \log_{\frac{1}{2}} \sin x = +\infty $ и $ \lim_{x \to (\pi+2\pi k)^-} \log_{\frac{1}{2}} \sin x = +\infty $. Следовательно, прямые $x = n\pi$ ($n \in \mathbb{Z}$) являются вертикальными асимптотами графика.

3. Нули и экстремумы функции. Максимальное значение $\sin x$ равно 1 и достигается в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этих точках значение функции $y$ будет минимальным: $ y = \log_{\frac{1}{2}} (1) = 0 $. Таким образом, график пересекает ось $Ox$ (и достигает своего минимума) в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

4. Периодичность. Так как функция $\sin x$ имеет период $2\pi$, вся картина графика будет повторяться с периодом $2\pi$.

Построение графика:

• На оси $Ox$ отмечаем интервалы, где $\sin x > 0$: $(\dots, (-2\pi, -\pi), (0, \pi), (2\pi, 3\pi), \dots)$.

• Внутри каждого такого интервала, например $(0, \pi)$, график имеет U-образную форму. Он начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ (уходя в $+\infty$), опускается до точки $(\pi/2, 0)$ и снова поднимается к вертикальной асимптоте $x=\pi$ (уходя в $+\infty$).

• Эта U-образная кривая повторяется на каждом интервале из области определения.

Ответ: График функции существует только на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. Он состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей. Каждая ветвь имеет две вертикальные асимптоты на границах интервала и достигает своего минимума, равного 0, в середине интервала (в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$).