Страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

63. Найти все принадлежащие множеству решений неравенства $\sqrt{x-1}<2$ корни уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$.

Для решения задачи необходимо сначала найти множество решений неравенства, а затем выбрать из корней тригонометрического уравнения те, которые принадлежат этому множеству.

1. Решим неравенство $\sqrt{x-1} < 2$

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$

Так как обе части исходного неравенства $\sqrt{x-1} < 2$ являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\sqrt{x-1})^2 < 2^2$
$x - 1 < 4$
$x < 5$

Теперь необходимо найти пересечение найденных условий, то есть решить систему: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x < 5 \end{cases}$
Решением системы является интервал $x \in [1, 5)$.

2. Решим уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$

Общее решение данного тригонометрического уравнения представляет собой совокупность двух серий корней: $x = (-1)^{k} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^{k} (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.

Для удобства отбора корней представим решение в виде двух отдельных серий:
1) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$
2) $x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$

3. Произведем отбор корней

Теперь найдем корни уравнения, которые принадлежат промежутку $[1, 5)$. Для оценки будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Рассмотрим первую серию корней $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$:

• При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{6} \approx -0.52$. Этот корень не принадлежит промежутку $[1, 5)$.
• При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx \frac{11 \times 3.14}{6} \approx 5.76$. Этот корень больше 5 и не принадлежит промежутку.

Корней из этой серии в заданном промежутке нет.

Рассмотрим вторую серию корней $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$:

• При $n=0$, $x = \frac{7\pi}{6}$. Оценим значение этого корня: $x \approx \frac{7 \times 3.14159}{6} \approx 3.665$. Проверим принадлежность промежутку $[1, 5)$ строго:
  $1 \le \frac{7\pi}{6} < 5$
  $6 \le 7\pi < 30$
  $\frac{6}{7} \le \pi < \frac{30}{7}$
  Так как $\frac{6}{7} \approx 0.857$ и $\frac{30}{7} \approx 4.286$, а значение $\pi \approx 3.14159$ находится в этих границах, то неравенство верно. Следовательно, $x = \frac{7\pi}{6}$ является искомым корнем.
• При $n=1$, $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx \frac{19 \times 3.14}{6} \approx 9.94$. Этот корень не принадлежит промежутку.
• При $n=-1$, $x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62$. Этот корень не принадлежит промежутку.

Таким образом, был найден единственный корень, удовлетворяющий условию задачи.

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$

64. Найти все принадлежащие промежутку $-$\frac{3\pi}{2}$ \le x \le \pi$ решения неравенства:

1) $\sin 2x \ge -\frac{1}{2}$

2) $\sin 3x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

1) Решим неравенство $\sin 2x \ge -\frac{1}{2}$ на промежутке $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Так как $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$, то, умножив все части неравенства на 2, получим промежуток для $t$: $-3\pi \le t \le 2\pi$.

Теперь задача состоит в том, чтобы решить неравенство $\sin t \ge -\frac{1}{2}$ на промежутке $[-3\pi, 2\pi]$.

Сначала найдем общее решение неравенства $\sin t \ge -\frac{1}{2}$. Решением соответствующего уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$ являются значения $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности неравенству $\sin t \ge -\frac{1}{2}$ удовлетворяют углы $t$, для которых выполняется двойное неравенство: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем из этих решений те, которые принадлежат промежутку $t \in [-3\pi, 2\pi]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $k$:

• При $k = -2$: $-\frac{\pi}{6} - 4\pi \le t \le \frac{7\pi}{6} - 4\pi \implies -\frac{25\pi}{6} \le t \le -\frac{17\pi}{6}$. Пересечение с $[-3\pi, 2\pi]$ (т.е. с $[-\frac{18\pi}{6}, \frac{12\pi}{6}]$) дает промежуток $[-3\pi, -\frac{17\pi}{6}]$.
• При $k = -1$: $-\frac{\pi}{6} - 2\pi \le t \le \frac{7\pi}{6} - 2\pi \implies -\frac{13\pi}{6} \le t \le -\frac{5\pi}{6}$. Этот промежуток полностью входит в $[-3\pi, 2\pi]$.
• При $k = 0$: $-\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{7\pi}{6}$. Этот промежуток полностью входит в $[-3\pi, 2\pi]$.
• При $k = 1$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi \implies \frac{11\pi}{6} \le t \le \frac{19\pi}{6}$. Пересечение с $[-3\pi, 2\pi]$ дает промежуток $[\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$.

Объединяя найденные промежутки для $t$, получаем: $t \in [-3\pi, -\frac{17\pi}{6}] \cup [-\frac{13\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}] \cup [-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$.

Теперь вернемся к переменной $x$, зная что $x = t/2$:

• $t \in [-3\pi, -\frac{17\pi}{6}] \implies x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{17\pi}{12}]$
• $t \in [-\frac{13\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}] \implies x \in [-\frac{13\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}]$
• $t \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}] \implies x \in [-\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}]$
• $t \in [\frac{11\pi}{6}, 2\pi] \implies x \in [\frac{11\pi}{12}, \pi]$

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{17\pi}{12}] \cup [-\frac{13\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}] \cup [-\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}] \cup [\frac{11\pi}{12}, \pi]$.

2) Решим неравенство $\sin 3x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x$. Так как $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$, то, умножив все части неравенства на 3, получим промежуток для $t$: $-\frac{9\pi}{2} \le t \le 3\pi$.

Теперь задача состоит в том, чтобы решить неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$.

Общее решение неравенства $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ можно найти, рассмотрев единичную окружность. Равенство $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается при $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для всех остальных углов. Таким образом, общее решение: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi(k+1) \implies \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем из этих решений те, которые принадлежат промежутку $t \in [-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$ (т.е. $[-4.5\pi, 3\pi]$). Будем подставлять различные целые значения $k$:

• При $k = -3$: $\frac{2\pi}{3} - 6\pi < t < \frac{7\pi}{3} - 6\pi \implies -\frac{16\pi}{3} < t < -\frac{11\pi}{3}$. Пересечение с $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$ (т.е. $[-\frac{27\pi}{6}, \frac{18\pi}{6}]$) дает промежуток $[-\frac{9\pi}{2}, -\frac{11\pi}{3})$.
• При $k = -2$: $\frac{2\pi}{3} - 4\pi < t < \frac{7\pi}{3} - 4\pi \implies -\frac{10\pi}{3} < t < -\frac{5\pi}{3}$. Этот промежуток полностью входит в $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$.
• При $k = -1$: $\frac{2\pi}{3} - 2\pi < t < \frac{7\pi}{3} - 2\pi \implies -\frac{4\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3}$. Этот промежуток полностью входит в $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$.
• При $k = 0$: $\frac{2\pi}{3} < t < \frac{7\pi}{3}$. Этот промежуток полностью входит в $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$.
• При $k = 1$: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi \implies \frac{8\pi}{3} < t < \frac{13\pi}{3}$. Пересечение с $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$ дает промежуток $(\frac{8\pi}{3}, 3\pi]$.

Объединяя найденные промежутки для $t$, получаем: $t \in [-\frac{9\pi}{2}, -\frac{11\pi}{3}) \cup (-\frac{10\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}) \cup (-\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}) \cup (\frac{8\pi}{3}, 3\pi]$.

Теперь вернемся к переменной $x$, зная что $x = t/3$:

• $t \in [-\frac{9\pi}{2}, -\frac{11\pi}{3}) \implies x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{11\pi}{9})$
• $t \in (-\frac{10\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}) \implies x \in (-\frac{10\pi}{9}, -\frac{5\pi}{9})$
• $t \in (-\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) \implies x \in (-\frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{9})$
• $t \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}) \implies x \in (\frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{9})$
• $t \in (\frac{8\pi}{3}, 3\pi] \implies x \in (\frac{8\pi}{9}, \pi]$

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{11\pi}{9}) \cup (-\frac{10\pi}{9}, -\frac{5\pi}{9}) \cup (-\frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{9}) \cup (\frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}) \cup (\frac{8\pi}{9}, \pi]$.

65. Найти множество значений функции $y = \sin x$, если $x$ принадлежит промежутку:

1) $[\frac{\pi}{6}; \pi]$

2) $[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$

1)

Требуется найти множество значений функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in [\frac{\pi}{6}; \pi]$.
Для анализа поведения функции рассмотрим её на единичной окружности или на графике. Промежуток $[\frac{\pi}{6}; \pi]$ соответствует дуге, начинающейся в первой четверти и заканчивающейся на границе второй и третьей четвертей.

1. Сначала найдём значения функции на концах заданного промежутка:
$y(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
$y(\pi) = \sin(\pi) = 0$

2. Теперь проверим, есть ли на данном промежутке точки экстремума (максимума или минимума) функции $\sin x$. Функция $\sin x$ достигает своего максимального значения, равного 1, в точке $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит нашему промежутку $[\frac{\pi}{6}; \pi]$.

На промежутке от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{2}$ функция $\sin x$ возрастает от $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ до $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
На промежутке от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ функция $\sin x$ убывает от $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ до $\sin(\pi) = 0$.

Таким образом, наименьшее значение функции на всем промежутке $[\frac{\pi}{6}; \pi]$ равно $0$, а наибольшее значение равно $1$. Поскольку функция $\sin x$ непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.
Следовательно, множество значений функции на данном промежутке — это отрезок $[0; 1]$.

Ответ: $[0; 1]$.

2)

Требуется найти множество значений функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in [\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$.
Данный промежуток соответствует дуге, которая начинается во второй четверти (угол $\frac{3\pi}{4}$) и заканчивается в третьей четверти (угол $\frac{5\pi}{4}$), проходя через точку $\pi$.

Проанализируем поведение функции на этом промежутке. Производная функции $y = \sin x$ есть $y' = \cos x$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, который полностью содержит наш промежуток $[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$, значение $\cos x$ отрицательно. Это означает, что функция $\sin x$ на всём заданном промежутке монотонно убывает.

Если функция непрерывна и монотонна на отрезке, то её множество значений — это отрезок, концами которого являются значения функции на концах исходного отрезка.
Вычислим значения функции на концах промежутка:

Максимальное значение будет в начале промежутка (так как функция убывает):
$y(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Минимальное значение будет в конце промежутка:
$y(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, когда $x$ изменяется от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$, значение $y = \sin x$ изменяется от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ до $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Множество значений функции на данном промежутке — это отрезок $[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

66. Найти промежутки убывания функции на заданном отрезке:

1) $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right),\left[-\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right]$;

2) $y=-\sin x,[-\pi; 2 \pi].$

1) Дана функция $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, 2\pi]$.
Для нахождения промежутков убывания функции необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах она неположительна ($y' \le 0$).
Сначала упростим вид функции, используя формулы приведения:
$y = \sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(x)$
Теперь найдем производную:
$y' = (-\cos(x))' = -(-\sin(x)) = \sin(x)$
Теперь решим неравенство $y' \le 0$, то есть $\sin(x) \le 0$.
Функция синус неположительна в третьей и четвертой четвертях. Общее решение этого неравенства имеет вид:
$\pi + 2\pi n \le x \le 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Это можно записать в виде объединения отрезков $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$.
Теперь найдем, какие из этих промежутков попадают в заданный отрезок $[-\frac{\pi}{2}, 2\pi]$.
1. При $n=0$: получаем отрезок $[\pi, 2\pi]$. Этот отрезок полностью принадлежит заданному отрезку $[-\frac{\pi}{2}, 2\pi]$.
2. При $n=-1$: получаем отрезок $[\pi - 2\pi, 2\pi - 2\pi]$, то есть $[-\pi, 0]$. Найдем пересечение этого отрезка с заданным отрезком $[-\frac{\pi}{2}, 2\pi]$: $[-\pi, 0] \cap [-\frac{\pi}{2}, 2\pi] = [-\frac{\pi}{2}, 0]$.
При других значениях $n$ получаемые отрезки не пересекаются с заданным.
Таким образом, функция убывает на объединении найденных промежутков.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ и $[\pi, 2\pi]$.

2) Дана функция $y = -\sin x$ на отрезке $[-\pi, 2\pi]$.
Для нахождения промежутков убывания найдем производную функции:
$y' = (-\sin x)' = -\cos x$
Функция убывает, когда ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$.
Решим неравенство $-\cos x \le 0$, что эквивалентно неравенству $\cos x \ge 0$.
Функция косинус неотрицательна в первой и четвертой четвертях. Общее решение этого неравенства имеет вид:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Это можно записать в виде объединения отрезков $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$.
Теперь найдем, какие из этих промежутков попадают в заданный отрезок $[-\pi, 2\pi]$.
1. При $n=0$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Этот отрезок полностью принадлежит заданному отрезку $[-\pi, 2\pi]$.
2. При $n=1$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi, \frac{\pi}{2} + 2\pi]$, то есть $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. Найдем пересечение этого отрезка с заданным отрезком $[-\pi, 2\pi]$: $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cap [-\pi, 2\pi] = [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.
3. При $n=-1$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{2} - 2\pi, \frac{\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}]$. Этот отрезок не пересекается с $[-\pi, 2\pi]$.
Следовательно, функция убывает на объединении найденных промежутков.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.

67. Решить графически уравнение:

1) $sin x = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3}$

2) $sin x = 2 - \frac{2}{\pi}x$

3) $-sin x = \sqrt{x}$

4) $sin x = cos x$

1) $ \sin x = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $

Для решения этого уравнения графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $ y = \sin x $ (синусоида) и $ y = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $ (прямая линия).

График функции $ y = \sin x $ — это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $ 2\pi $ и областью значений $ [-1, 1] $.

График функции $ y = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $ — это прямая линия. Найдем две точки, чтобы построить ее:

• При $ x = \pi $, $ y = \frac{2}{3\pi}\cdot\pi - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0 $. Точка $ (\pi, 0) $.
• При $ x = -\frac{\pi}{2} $, $ y = \frac{2}{3\pi}\cdot(-\frac{\pi}{2}) - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -1 $. Точка $ (-\frac{\pi}{2}, -1) $.

Теперь проверим, лежат ли эти точки также на графике $ y = \sin x $:

• Для точки $ (\pi, 0) $: $ \sin(\pi) = 0 $. Точка принадлежит графику.
• Для точки $ (-\frac{\pi}{2}, -1) $: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $. Точка принадлежит графику.

Найдем еще одну возможную точку пересечения. Поскольку область значений синуса $ [-1, 1] $, проверим, при каком $ x $ прямая достигает значения $ y=1 $.

$ 1 = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{5}{3} = \frac{2}{3\pi}x \Rightarrow x = \frac{5\pi}{2} $.
Проверим значение синуса в этой точке: $ \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = 1 $.
Таким образом, точка $ (\frac{5\pi}{2}, 1) $ также является точкой пересечения.

Прямая $ y = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $ является возрастающей. Для $ x > \frac{5\pi}{2} $ значения $ y $ для прямой будут больше 1, а для $ x < -\frac{\pi}{2} $ значения $ y $ будут меньше -1. Так как $ \sin x $ не может принимать такие значения, других точек пересечения нет.

Графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых и являются решениями уравнения.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2}, x = \pi, x = \frac{5\pi}{2} $.

2) $ \sin x = 2 - \frac{2}{\pi}x $

Построим графики функций $ y = \sin x $ (синусоида) и $ y = 2 - \frac{2}{\pi}x $ (прямая линия).

График $ y = \sin x $ — стандартная синусоида.

График $ y = 2 - \frac{2}{\pi}x $ — прямая линия. Найдем несколько точек для ее построения:

• При $ x = \frac{\pi}{2} $, $ y = 2 - \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = 2 - 1 = 1 $. Точка $ (\frac{\pi}{2}, 1) $.
• При $ x = \pi $, $ y = 2 - \frac{2}{\pi}\cdot\pi = 2 - 2 = 0 $. Точка $ (\pi, 0) $.
• При $ x = \frac{3\pi}{2} $, $ y = 2 - \frac{2}{\pi}\cdot\frac{3\pi}{2} = 2 - 3 = -1 $. Точка $ (\frac{3\pi}{2}, -1) $.

Проверим, лежат ли эти точки на графике $ y = \sin x $:

• Для точки $ (\frac{\pi}{2}, 1) $: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $. Точка принадлежит графику.
• Для точки $ (\pi, 0) $: $ \sin(\pi) = 0 $. Точка принадлежит графику.
• Для точки $ (\frac{3\pi}{2}, -1) $: $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $. Точка принадлежит графику.

Прямая $ y = 2 - \frac{2}{\pi}x $ является убывающей. При $ x < 0 $, $ y > 2 $, а $ \sin x \le 1 $, поэтому решений нет. При $ x > \frac{3\pi}{2} $, $ y < -1 $, а $ \sin x \ge -1 $, поэтому решений также нет. В интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $ синусоида выпукла вверх, а прямая линия нет, и они пересекаются только в конечной точке интервала, $ x = \frac{\pi}{2} $. Аналогично для других участков. Следовательно, других точек пересечения нет.

Решениями уравнения являются абсциссы найденных точек пересечения.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2}, x = \pi, x = \frac{3\pi}{2} $.

3) $ -\sin x = \sqrt{x} $

Построим графики функций $ y = -\sin x $ и $ y = \sqrt{x} $.

График $ y = -\sin x $ — это синусоида, отраженная относительно оси Ox. Ее значения также лежат в отрезке $ [-1, 1] $.

График $ y = \sqrt{x} $ — ветвь параболы. Область определения этой функции $ x \ge 0 $. Следовательно, решения могут быть только неотрицательными.

Сразу видим одну точку пересечения: при $ x = 0 $ имеем $ -\sin(0) = 0 $ и $ \sqrt{0} = 0 $. Значит, $ x = 0 $ является решением.

Рассмотрим $ x > 0 $. Для существования решения необходимо, чтобы обе части уравнения были неотрицательны, так как $ \sqrt{x} \ge 0 $. Это означает, что $ -\sin x \ge 0 $, что эквивалентно $ \sin x \le 0 $. Это условие выполняется для $ x \in [\pi, 2\pi], [3\pi, 4\pi], \dots $.

Рассмотрим первый такой промежуток $ [\pi, 2\pi] $. В этом промежутке $ x \ge \pi \approx 3.14 $. Тогда $ \sqrt{x} \ge \sqrt{\pi} \approx 1.77 $. Однако, максимальное значение функции $ y = -\sin x $ равно 1. Поскольку $ \sqrt{x} > 1 $, а $ -\sin x \le 1 $, равенство на этом промежутке (и на всех последующих) невозможно.

Также можно рассмотреть промежуток $ (0, 1] $. На этом промежутке $ \sqrt{x} > 0 $. В то же время, $ x \in (0, 1] \subset (0, \pi) $, где $ \sin x > 0 $, а значит $ -\sin x < 0 $. Равенство положительного и отрицательного числа невозможно.

Таким образом, единственная точка пересечения графиков — это начало координат.

Ответ: $ x=0 $.

4) $ \sin x = \cos x $

Построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = \cos x $.

Оба графика — стандартные синусоиды, сдвинутые друг относительно друга по фазе на $ \frac{\pi}{2} $. Точки пересечения графиков соответствуют таким значениям $ x $, для которых значения синуса и косинуса равны.

Из тригонометрии известно, что $ \sin x = \cos x $ в точках, которые на единичной окружности соответствуют середине первой и третьей четвертей. В первой четверти это угол $ x = \frac{\pi}{4} $. Проверка: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. В третьей четверти это угол $ x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $. Проверка: $ \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Поскольку обе функции периодические с периодом $ 2\pi $, пересечения будут повторяться. Расстояние между двумя соседними точками пересечения (например, между $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{5\pi}{4} $) равно $ \pi $.

Таким образом, все решения можно описать одной формулой, добавив к первому решению $ \frac{\pi}{4} $ слагаемое $ \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

68. С помощью графиков функций выяснить, имеет ли решение система уравнений:

1) $$\begin{cases} y - 1 = \sin x, \\ y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} y = -\sin x, \\ y = -\frac{2}{x^2} - 1. \end{cases}$$

1)

Чтобы выяснить, имеет ли решение данная система уравнений, мы можем построить графики функций, входящих в систему, и определить, пересекаются ли они. Если графики пересекаются, система имеет решение (или решения); если не пересекаются — решений нет. Точки пересечения графиков и являются решениями системы.

Преобразуем первое уравнение системы: $y - 1 = \sin x$ эквивалентно $y = \sin x + 1$.

Таким образом, нам нужно проанализировать графики двух функций:

1. $y = \sin x + 1$
2. $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$

Рассмотрим первую функцию: $y = \sin x + 1$. Ее график — это синусоида, смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Область значений этой функции: $y \in [0, 2]$, так как $-1 \le \sin x \le 1$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$. Область определения этой функции задается условием $x - \frac{\pi}{2} \ge 0$, то есть $x \ge \frac{\pi}{2}$. Область значений этой функции: $y \ge 0$. График этой функции — это ветвь параболы, смещенная на $\frac{\pi}{2}$ вправо вдоль оси абсцисс и начинающаяся в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Теперь сравним значения этих двух функций в некоторых точках из общей области определения ($x \ge \frac{\pi}{2}$).

• При $x = \frac{\pi}{2}$:
  Для первой функции: $y = \sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = 1 + 1 = 2$.
  Для второй функции: $y = \sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{0} = 0$.
  В этой точке график первой функции находится выше графика второй.
• При $x = \frac{3\pi}{2}$:
  Для первой функции: $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) + 1 = -1 + 1 = 0$.
  Для второй функции: $y = \sqrt{\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{\pi} \approx 1.77$.
  В этой точке график первой функции уже находится ниже графика второй.

Поскольку обе функции непрерывны на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, и на одном конце отрезка график $y = \sin x + 1$ лежит выше графика $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$, а на другом — ниже, то по теореме о промежуточном значении их графики должны пересечься хотя бы в одной точке внутри интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Следовательно, система уравнений имеет как минимум одно решение.

Ответ: система имеет решение.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\sin x \\ y = -\frac{2}{x^2}-1 \end{cases}$

Для определения наличия решений построим и проанализируем графики двух функций: $y = -\sin x$ и $y = -\frac{2}{x^2}-1$.

Рассмотрим первую функцию: $y = -\sin x$. Это график синусоиды, отраженный относительно оси абсцисс. Область значений этой функции такая же, как у $\sin x$: $y \in [-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ значение функции $y = -\sin x$ не может быть меньше $-1$ и больше $1$. То есть, $y \ge -1$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = -\frac{2}{x^2}-1$. Область определения этой функции: $x \neq 0$.
Проанализируем ее область значений. Поскольку $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $\frac{2}{x^2} > 0$.
Следовательно, $-\frac{2}{x^2} < 0$.
Тогда $y = -\frac{2}{x^2}-1$ будет всегда строго меньше, чем $-1$. То есть, $y < -1$.

Сравним области значений двух функций:

• Для $y = -\sin x$ область значений $E_1 = [-1, 1]$.
• Для $y = -\frac{2}{x^2}-1$ область значений $E_2 = (-\infty, -1)$.

Множества значений этих двух функций не пересекаются ($E_1 \cap E_2 = \emptyset$). Это означает, что не существует такого значения $y$, которое могло бы одновременно удовлетворять обоим уравнениям.
График функции $y = -\sin x$ всегда лежит на прямой $y=-1$ или выше нее, в то время как график функции $y = -\frac{2}{x^2}-1$ всегда лежит строго ниже прямой $y=-1$. Таким образом, графики этих функций никогда не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

69. Сколько решений имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} y = 2\sin x, \\ y = \log_{\frac{1}{3}} x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y + 1 = -\sin x, \\ y = \sqrt[3]{x}? \end{cases}$

1)

Для определения количества решений системы уравнений найдем число точек пересечения графиков функций $y = 2\sin x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x$.

Рассмотрим свойства каждой функции:

1. Функция $f(x) = 2\sin x$:

• Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Область значений: отрезок $[-2, 2]$, так как $-1 \le \sin x \le 1$.
• Функция периодическая с периодом $2\pi$.

2. Функция $g(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$:

• Область определения: $x > 0$.
• Область значений: все действительные числа ($y \in \mathbb{R}$).
• Функция является монотонно убывающей, так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1.

Решения системы могут существовать только при $x > 0$. Кроме того, значения $y$ в точках пересечения должны принадлежать области значений обеих функций, то есть $y$ должен быть в отрезке $[-2, 2]$.

Найдем, при каких значениях $x$ функция $g(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ принимает значения из отрезка $[-2, 2]$:
Если $y = -2$, то $\log_{\frac{1}{3}} x = -2 \implies x = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$.
Если $y = 2$, то $\log_{\frac{1}{3}} x = 2 \implies x = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$.
Поскольку функция $g(x)$ убывающая, то все точки пересечения должны лежать в интервале $x \in [\frac{1}{9}, 9]$.

Проанализируем поведение графиков на этом интервале, используя графический метод.

• На интервале $(0, 1)$ функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывает от $+\infty$ до $0$. Функция $y = 2\sin x$ возрастает от $0$ до $2\sin(1) \approx 1.68$. Так как одна функция убывает, а другая возрастает на данном интервале, и их значения "пересекаются" (в точке $x \to 0^+$ логарифм больше синусоиды, а в точке $x=1$ синусоида больше логарифма), то на интервале $(0,1)$ есть ровно одна точка пересечения.
• На интервале $[1, \pi] \approx [1, 3.14]$, $y = 2\sin x \ge 0$, а $y = \log_{\frac{1}{3}} x \le 0$. Пересечений нет (кроме возможной точки $x=1$, где $2\sin(1) > 0$ и $\log_{1/3}(1)=0$, так что пересечения нет).
• На интервале $(\pi, 2\pi) \approx (3.14, 6.28)$ обе функции отрицательны.
  В точке $x=\pi$: $y = 2\sin(\pi) = 0$, а $y = \log_{\frac{1}{3}}(\pi) < 0$. График синусоиды выше графика логарифма.
  В точке $x=\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$: $y = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2$, а $y = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{3\pi}{2}) \approx -1.4$. График синусоиды ниже графика логарифма. На интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ есть как минимум одна точка пересечения.
  В точке $x=2\pi$: $y = 2\sin(2\pi) = 0$, а $y = \log_{\frac{1}{3}}(2\pi) \approx -1.6$. График синусоиды снова выше графика логарифма. На интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ синусоида возрастает, а логарифм убывает, значит, есть ровно одна точка пересечения.
  Анализ производных показывает, что на интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ также только одна точка пересечения. Итого, на интервале $(\pi, 2\pi)$ имеем две точки пересечения.
• На интервале $(2\pi, 9] \approx (6.28, 9]$, $y = 2\sin x \ge 0$, в то время как $y = \log_{\frac{1}{3}} x < 0$. Пересечений нет.

Суммируя, получаем $1 + 2 = 3$ точки пересечения.

Ответ: 3

2)

Подставим второе уравнение $y = \sqrt[3]{x}$ в первое: $\sqrt[3]{x} + 1 = -\sin x$, или $\sqrt[3]{x} = -1 - \sin x$.

Для определения количества решений найдем число точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = -1 - \sin x$.

Рассмотрим свойства каждой функции:

1. Функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$:

• Область определения и область значений: все действительные числа.
• Функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

2. Функция $g(x) = -1 - \sin x$:

• Область определения: все действительные числа.
• Область значений: отрезок $[-2, 0]$, так как $-1 \le \sin x \le 1$.
• Функция периодическая с периодом $2\pi$.

Точки пересечения могут существовать только там, где значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ попадают в отрезок $[-2, 0]$.
$\sqrt[3]{x} = -2 \implies x = -8$.
$\sqrt[3]{x} = 0 \implies x = 0$.
Следовательно, все решения должны находиться на отрезке $x \in [-8, 0]$.

Проанализируем поведение графиков на этом отрезке. Удобно рассмотреть интервалы, заданные точками экстремума функции $g(x) = -1-\sin x$.
Максимумы ($y=0$) достигаются при $\sin x = -1$, т.е. при $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
Минимумы ($y=-2$) достигаются при $\sin x = 1$, т.е. при $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
На отрезке $[-8, 0]$ экстремумы $g(x)$ будут в точках: $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ (максимум), $x = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$ (минимум), $x = -\frac{5\pi}{2} \approx -7.85$ (максимум).

• На интервале $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}] \approx [-7.85, -4.71]$:
  $f(x)=\sqrt[3]{x}$ возрастает. $g(x)=-1-\sin x$ убывает от максимума $0$ до минимума $-2$.
  В точке $x = -\frac{5\pi}{2}$: $f(-\frac{5\pi}{2}) = \sqrt[3]{-7.85} \approx -1.98$, а $g(-\frac{5\pi}{2}) = 0$. То есть $f < g$.
  В точке $x = -\frac{3\pi}{2}$: $f(-\frac{3\pi}{2}) = \sqrt[3]{-4.71} \approx -1.67$, а $g(-\frac{3\pi}{2}) = -2$. То есть $f > g$.
  Так как возрастающая и убывающая функции "пересекаются" по значениям, на этом интервале есть ровно одна точка пересечения.
• На интервале $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}] \approx [-4.71, -1.57]$:
  $f(x)=\sqrt[3]{x}$ возрастает. $g(x)=-1-\sin x$ возрастает от минимума $-2$ до максимума $0$.
  В точке $x = -\frac{3\pi}{2}$: $f > g$.
  В точке $x = -\frac{\pi}{2}$: $f(-\frac{\pi}{2}) = \sqrt[3]{-1.57} \approx -1.16$, а $g(-\frac{\pi}{2}) = 0$. То есть $f < g$.
  Поскольку значения непрерывных функций "пересекаются" ($f$ начинается выше $g$ и заканчивается ниже $g$), на этом интервале есть как минимум одна точка пересечения. Графический анализ показывает, что она одна.
• На интервале $[-\frac{\pi}{2}, 0] \approx [-1.57, 0]$:
  $f(x)=\sqrt[3]{x}$ возрастает. $g(x)=-1-\sin x$ убывает от максимума $0$ до $-1$.
  В точке $x = -\frac{\pi}{2}$: $f < g$.
  В точке $x = 0$: $f(0) = 0$, а $g(0) = -1$. То есть $f > g$.
  На этом интервале возрастающая и убывающая функции пересекаются ровно один раз.

За пределами отрезка $[-8, 0]$ решений нет. Таким образом, всего существует $1 + 1 + 1 = 3$ точки пересечения.

Ответ: 3

70. Построить график и выяснить свойства функции:

1) $y = 1 - \sin x;$

2) $y = 2 + \sin x;$

3) $y = \sin 3x;$

4) $y = 2\sin x;$

5) $y = 3\sin \frac{x}{2};$

6) $y = 2 - \sin 2x.$

71. Построить график функции:

1) $y = \sin|x|;$

2) $y = |\sin x|;$

3) $y = \sin x - x;$

4) $y = \log_{\frac{1}{2}}\sin x.$

1) $y = \sin|x|$

Для построения графика функции $y = \sin|x|$ воспользуемся правилом построения графиков вида $y = f(|x|)$.

Функция $y = \sin|x|$ является чётной, так как $y(-x) = \sin|-x| = \sin|x| = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Построение графика можно разбить на следующие шаги:

1. Строим график функции $y = \sin x$ для неотрицательных значений аргумента, то есть для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, поэтому графики функций $y = \sin|x|$ и $y = \sin x$ совпадают.

2. Отбрасываем часть графика $y = \sin x$, которая находится в левой полуплоскости (где $x < 0$).

3. Оставшуюся часть графика (для $x \ge 0$) симметрично отражаем относительно оси $Oy$. Полученное объединение и будет искомым графиком.

В результате график для $x \ge 0$ представляет собой обычную синусоиду, начинающуюся из начала координат. Для $x < 0$ график является зеркальным отражением правой части. В точке $x=0$ образуется "излом" (острый угол), так как производная слева в этой точке равна -1, а справа 1.

Ответ: График функции $y = \sin|x|$ получается из графика $y = \sin x$ для $x \ge 0$ путём его симметричного отражения относительно оси $Oy$.

2) $y = |\sin x|$

Для построения графика функции $y = |\sin x|$ воспользуемся правилом построения графиков вида $y = |f(x)|$.

Значение функции $y$ всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$. Это означает, что весь график будет расположен в верхней полуплоскости (над осью $Ox$ или на ней).

Построение графика выполняется следующим образом:

1. Сначала строим график функции $y = \sin x$.

2. Части графика, которые лежат выше или на оси $Ox$ (где $\sin x \ge 0$), оставляем без изменений.

3. Части графика, которые лежат ниже оси $Ox$ (где $\sin x < 0$), симметрично отражаем относительно оси $Ox$.

В результате все отрицательные "полуволны" синусоиды становятся положительными. График представляет собой последовательность одинаковых положительных "арок". Функция является периодической. Исходный период функции $\sin x$ равен $2\pi$, но у функции $|\sin x|$ период становится вдвое меньше и равен $\pi$.

Ответ: График функции $y = |\sin x|$ получается из графика $y = \sin x$ путём отражения всех его частей, лежащих ниже оси $Ox$, симметрично относительно этой оси.

3) $y = \sin x - x$

Для построения графика этой функции можно использовать метод сложения графиков. Представим функцию как сумму двух функций: $y_1 = \sin x$ и $y_2 = -x$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin x$ — стандартную синусоиду.

2. На той же координатной плоскости строим график функции $y_2 = -x$ — прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом -1.

3. Для получения искомого графика для каждой точки $x$ на оси абсцисс складываем ординаты (значения y) графиков $y_1$ и $y_2$.

Проведём более детальный анализ функции:

• Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.

• Функция является нечётной, так как $y(-x) = \sin(-x) - (-x) = -\sin x + x = -(\sin x - x) = -y(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно начала координат.

• Поскольку значение $\sin x$ ограничено ($|\sin x| \le 1$), при больших значениях $|x|$ поведение функции определяется слагаемым $-x$. График функции колеблется вокруг прямой $y = -x$ и заключен между двумя прямыми $y = 1 - x$ и $y = -1 - x$.

• Найдём производную: $y' = (\sin x - x)' = \cos x - 1$. Так как $\cos x \le 1$, производная $y' \le 0$ при всех $x$. Это означает, что функция является неубывающей. Она строго убывает везде, кроме точек, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. В этих точках касательная к графику горизонтальна, и это точки перегиба.

• Точки пересечения с прямой $y=-x$ находятся там, где $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k$ — целое число.

Ответ: График функции $y = \sin x - x$ представляет собой монотонно убывающую кривую, которая колеблется вокруг прямой $y=-x$ и пересекает её в точках $x=\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

4) $y = \log_{\frac{1}{2}} \sin x$

Для построения графика этой сложной функции проанализируем её свойства.

1. Область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому требуется выполнение условия $\sin x > 0$. Это неравенство справедливо на интервалах вида $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Вне этих интервалов функция не определена.

2. Поведение на границах области определения. Когда $x$ стремится к концам этих интервалов (например, $x \to 2\pi k^+$ или $x \to (\pi + 2\pi k)^-$), значение $\sin x$ стремится к $0^+$. Так как основание логарифма $1/2$ меньше 1, логарифм от числа, стремящегося к нулю, стремится к $+\infty$. $ \lim_{x \to 2\pi k^+} \log_{\frac{1}{2}} \sin x = +\infty $ и $ \lim_{x \to (\pi+2\pi k)^-} \log_{\frac{1}{2}} \sin x = +\infty $. Следовательно, прямые $x = n\pi$ ($n \in \mathbb{Z}$) являются вертикальными асимптотами графика.

3. Нули и экстремумы функции. Максимальное значение $\sin x$ равно 1 и достигается в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этих точках значение функции $y$ будет минимальным: $ y = \log_{\frac{1}{2}} (1) = 0 $. Таким образом, график пересекает ось $Ox$ (и достигает своего минимума) в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

4. Периодичность. Так как функция $\sin x$ имеет период $2\pi$, вся картина графика будет повторяться с периодом $2\pi$.

Построение графика:

• На оси $Ox$ отмечаем интервалы, где $\sin x > 0$: $(\dots, (-2\pi, -\pi), (0, \pi), (2\pi, 3\pi), \dots)$.

• Внутри каждого такого интервала, например $(0, \pi)$, график имеет U-образную форму. Он начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ (уходя в $+\infty$), опускается до точки $(\pi/2, 0)$ и снова поднимается к вертикальной асимптоте $x=\pi$ (уходя в $+\infty$).

• Эта U-образная кривая повторяется на каждом интервале из области определения.

Ответ: График функции существует только на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. Он состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей. Каждая ветвь имеет две вертикальные асимптоты на границах интервала и достигает своего минимума, равного 0, в середине интервала (в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$).

72. Сила переменного электрического тока является функцией, зависящей от времени, и выражается формулой $I = A\sin(\omega t + \varphi)$, где $A$ — амплитуда колебания, $\omega$ — частота, $\varphi$ — начальная фаза. Построить график функции, если:

1) $A=2, \omega=1, \varphi=\frac{\pi}{4}$;

2) $A=1, \omega=2, \varphi=\frac{\pi}{3}$.

1)

Заданы параметры для функции силы переменного тока $I = A\sin(\omega t + \phi)$: амплитуда $A=2$, угловая частота $\omega=1$, начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{4}$. Подставив эти значения в формулу, получаем уравнение: $I(t) = 2\sin(1 \cdot t + \frac{\pi}{4}) = 2\sin(t + \frac{\pi}{4})$.

Чтобы построить график этой функции, проанализируем, как каждый параметр влияет на базовый график $y=\sin(t)$.

1. Амплитуда $A=2$. Множитель 2 перед синусом означает, что график функции растягивается в 2 раза вдоль оси ординат (оси $I$). Область значений функции будет от -2 до 2.
2. Угловая частота $\omega=1$. Период функции $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{\omega}$. В нашем случае $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$. Это означает, что функция совершает одно полное колебание за интервал времени, равный $2\pi$.
3. Начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{4}$. Наличие начальной фазы приводит к сдвигу графика вдоль оси времени $t$. Величина сдвига равна $-\frac{\phi}{\omega} = -\frac{\pi/4}{1} = -\frac{\pi}{4}$. Знак "минус" означает, что график функции $y=2\sin(t)$ сдвигается влево на $\frac{\pi}{4}$.

Определим координаты ключевых точек графика на одном периоде. Для этого найдем значения $t$, при которых аргумент синуса $(t + \frac{\pi}{4})$ принимает значения $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$.

• Точка начала волны (пересечение оси $t$ при возрастании): $t + \frac{\pi}{4} = 0 \Rightarrow t = -\frac{\pi}{4}$. Здесь $I(-\frac{\pi}{4}) = 2\sin(0) = 0$.
• Точка максимума: $t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$. Здесь $I(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$.
• Точка пересечения оси $t$ при убывании: $t + \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow t = \frac{3\pi}{4}$. Здесь $I(\frac{3\pi}{4}) = 2\sin(\pi) = 0$.
• Точка минимума: $t + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{5\pi}{4}$. Здесь $I(\frac{5\pi}{4}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2$.
• Точка конца волны: $t + \frac{\pi}{4} = 2\pi \Rightarrow t = \frac{7\pi}{4}$. Здесь $I(\frac{7\pi}{4}) = 2\sin(2\pi) = 0$.

При $t=0$ сила тока равна $I(0) = 2\sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: График функции $I(t) = 2\sin(t + \frac{\pi}{4})$ является синусоидой с амплитудой 2, периодом $2\pi$ и сдвигом влево на $\frac{\pi}{4}$ относительно графика $y=2\sin(t)$. Ключевые точки одного периода: $(-\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 2)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\frac{5\pi}{4}, -2)$, $(\frac{7\pi}{4}, 0)$.

2)

Заданы параметры: амплитуда $A=1$, угловая частота $\omega=2$, начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{3}$. Подставив эти значения в формулу, получаем уравнение: $I(t) = 1 \cdot \sin(2t + \frac{\pi}{3}) = \sin(2t + \frac{\pi}{3})$.

Проанализируем параметры для построения графика.

1. Амплитуда $A=1$. Амплитуда равна 1, значит, область значений функции от -1 до 1. Растяжения по вертикали нет.
2. Угловая частота $\omega=2$. Период функции $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Это означает, что график функции сжат в 2 раза вдоль оси времени $t$ по сравнению с $y=\sin(t)$.
3. Начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{3}$. Сдвиг графика вдоль оси времени $t$ равен $-\frac{\phi}{\omega} = -\frac{\pi/3}{2} = -\frac{\pi}{6}$. График функции $y=\sin(2t)$ сдвигается влево на $\frac{\pi}{6}$.

Определим координаты ключевых точек графика на одном периоде, приравнивая аргумент синуса $(2t + \frac{\pi}{3})$ к значениям $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$.

• Точка начала волны: $2t + \frac{\pi}{3} = 0 \Rightarrow 2t = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow t = -\frac{\pi}{6}$. Здесь $I(-\frac{\pi}{6}) = \sin(0) = 0$.
• Точка максимума: $2t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2t = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{\pi}{12}$. Здесь $I(\frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• Точка пересечения оси $t$: $2t + \frac{\pi}{3} = \pi \Rightarrow 2t = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{\pi}{3}$. Здесь $I(\frac{\pi}{3}) = \sin(\pi) = 0$.
• Точка минимума: $2t + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow 2t = \frac{7\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{7\pi}{12}$. Здесь $I(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
• Точка конца волны: $2t + \frac{\pi}{3} = 2\pi \Rightarrow 2t = \frac{5\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{5\pi}{6}$. Здесь $I(\frac{5\pi}{6}) = \sin(2\pi) = 0$.

При $t=0$ сила тока равна $I(0) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: График функции $I(t) = \sin(2t + \frac{\pi}{3})$ является синусоидой с амплитудой 1, периодом $\pi$ и сдвигом влево на $\frac{\pi}{6}$ относительно графика $y=\sin(2t)$. Ключевые точки одного периода: $(-\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{12}, 1)$, $(\frac{\pi}{3}, 0)$, $(\frac{7\pi}{12}, -1)$, $(\frac{5\pi}{6}, 0)$.

73. Решить неравенство:

1) $\sin^2 x > \frac{1}{4}$;

2) $3\sin x - 2\cos^2 x < 0$.

1)

Решим неравенство $\sin^2 x > \frac{1}{4}$.

Для решения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. Подставим ее в исходное неравенство:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} > \frac{1}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(1 - \cos(2x)) > 1$

$2 - 2\cos(2x) > 1$

$1 > 2\cos(2x)$

$\cos(2x) < \frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной $y = 2x$. Неравенство примет вид $\cos y < \frac{1}{2}$.

Найдем на тригонометрической окружности точки, для которых абсцисса (косинус) меньше $\frac{1}{2}$. Сначала найдем углы, для которых $\cos y = \frac{1}{2}$. Это $y = \frac{\pi}{3}$ и $y = -\frac{\pi}{3}$.

Неравенству $\cos y < \frac{1}{2}$ удовлетворяют углы, лежащие на дуге от $\frac{\pi}{3}$ до $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

С учетом периодичности функции косинуса, общее решение для $y$ имеет вид:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < y < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $y = 2x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $3\sin x - 2\cos^2 x < 0$.

Чтобы привести неравенство к одной тригонометрической функции, используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$3\sin x - 2(1 - \sin^2 x) < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3\sin x - 2 + 2\sin^2 x < 0$

$2\sin^2 x + 3\sin x - 2 < 0$

Сделаем замену $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \le t \le 1$. Неравенство принимает вид квадратного:

$2t^2 + 3t - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.

$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Парабола $y=2t^2+3t-2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2t^2+3t-2 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-2 < t < \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену $t=\sin x$ и учтем ограничение $-1 \le \sin x \le 1$:

$\begin{cases} -2 < \sin x < \frac{1}{2} \\ -1 \le \sin x \le 1 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает неравенство $-1 \le \sin x < \frac{1}{2}$. Так как $\sin x \ge -1$ верно для всех $x$, остается решить неравенство $\sin x < \frac{1}{2}$.

Найдем на тригонометрической окружности точки, для которых ордината (синус) меньше $\frac{1}{2}$. Граничными точками являются углы, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$, то есть $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Неравенству $\sin x < \frac{1}{2}$ соответствуют углы на дуге от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ следующего оборота.

С учетом периодичности, решение можно записать в виде:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, что равносильно $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Этот же интервал можно записать в другой, эквивалентной форме: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.