Страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

55. (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция $y = \sin x$ на промежутке:

1) $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}]$;

2) $(\frac{\pi}{2}; \pi)$;

3) $(-\pi; -\frac{\pi}{2})$;

4) $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$;

5) $[2; 4]$;

6) $(6; 7)$.

Для определения характера монотонности функции $y = \sin x$ на заданных промежутках используется ее производная $y' = \cos x$. Функция возрастает там, где ее производная положительна ($\cos x > 0$), и убывает там, где производная отрицательна ($\cos x < 0$).

• $\sin x$ возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
• $\sin x$ убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

1) Промежуток $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. Этот промежуток можно получить из основного промежутка возрастания $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, прибавив $2\pi$ к его границам: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi, \frac{\pi}{2} + 2\pi] = [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. На этом промежутке производная $y' = \cos x \ge 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: возрастает.

2) Промежуток $(\frac{\pi}{2}, \pi)$. Этот промежуток является частью промежутка убывания $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ угол $x$ находится во второй координатной четверти, где $\cos x < 0$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: убывает.

3) Промежуток $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$. Этот промежуток является частью промежутка убывания $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ угол $x$ находится в третьей координатной четверти, где $\cos x < 0$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: убывает.

4) Промежуток $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. Это один из стандартных промежутков убывания функции $\sin x$. На этом промежутке производная $y' = \cos x \le 0$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: убывает.

5) Промежуток $[2, 4]$. Для анализа этого промежутка используем числовые значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Так как $1.57 < 2 < 4 < 4.71$, то весь промежуток $[2, 4]$ находится внутри промежутка убывания $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: убывает.

6) Промежуток $(6, 7)$. Для анализа этого промежутка используем числовые значения: $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Так как $4.71 < 6 < 7 < 7.85$, то весь промежуток $(6, 7)$ находится внутри промежутка возрастания $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. Следовательно, функция на этом промежутке возрастает.

Ответ: возрастает.

56. Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция $y = \sin x$ возрастала, а на другом убывала:

1) $[0; \pi]$;

2) $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$;

3) $[-\pi; 0]$;

4) $[-2\pi; -\pi]$.

Чтобы разбить данный отрезок на два, на одном из которых функция $y = \sin x$ возрастает, а на другом убывает, необходимо найти точку экстремума функции внутри этого отрезка. Точки экстремума функции $y = \sin x$ — это точки, в которых ее производная $y' = \cos x$ равна нулю или меняет знак.

Производная $y' = \cos x$ равна нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Функция $y = \sin x$ возрастает, когда $\cos x > 0$, и убывает, когда $\cos x < 0$.

Проанализируем каждый из предложенных отрезков:

1) $[0; \pi]$

Найдем точку экстремума на интервале $(0; \pi)$. Уравнение $\cos x = 0$ на этом интервале имеет один корень: $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка разбивает отрезок $[0; \pi]$ на два отрезка: $[0; \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

• На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, производная $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.
• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, производная $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.

Ответ: Отрезок $[0; \pi]$ можно разбить на отрезки $[0; \frac{\pi}{2}]$ (функция возрастает) и $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ (функция убывает).

2) $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$

Найдем точку экстремума на интервале $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Уравнение $\cos x = 0$ на этом интервале имеет один корень: $x = \frac{3\pi}{2}$. Эта точка разбивает отрезок $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$ на два отрезка: $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, производная $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.
• На отрезке $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$, производная $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Ответ: Отрезок $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$ можно разбить на отрезки $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ (функция убывает) и $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$ (функция возрастает).

3) $[-\pi; 0]$

Найдем точку экстремума на интервале $(-\pi; 0)$. Уравнение $\cos x = 0$ на этом интервале имеет один корень: $x = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка разбивает отрезок $[-\pi; 0]$ на два отрезка: $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ и $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

• На отрезке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$, производная $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.
• На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, производная $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Ответ: Отрезок $[-\pi; 0]$ можно разбить на отрезки $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ (функция убывает) и $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ (функция возрастает).

4) $[-2\pi; -\pi]$

Найдем точку экстремума на интервале $(-2\pi; -\pi)$. Уравнение $\cos x = 0$ на этом интервале имеет один корень: $x = -\frac{3\pi}{2}$. Эта точка разбивает отрезок $[-2\pi; -\pi]$ на два отрезка: $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ и $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$.

• На отрезке $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$, производная $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.
• На отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$, производная $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.

Ответ: Отрезок $[-2\pi; -\pi]$ можно разбить на отрезки $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ (функция возрастает) и $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$ (функция убывает).

57. С помощью свойств возрастания или убывания функции $y=\sin x$ сравнить числа:

1) $\sin \frac{7\pi}{10}$ и $\sin \frac{13\pi}{10}$;

2) $\sin \frac{13\pi}{7}$ и $\sin \frac{11\pi}{7}$;

3) $\sin \left(-\frac{8\pi}{7}\right)$ и $\sin \left(-\frac{9\pi}{8}\right)$;

4) $\sin 7$ и $\sin 6$.

1) Для сравнения чисел $sin(\frac{7\pi}{10})$ и $sin(\frac{13\pi}{10})$ воспользуемся свойствами функции $y = \sin x$. Эта функция является убывающей на промежутке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Чтобы проверить, принадлежат ли аргументы $\frac{7\pi}{10}$ и $\frac{13\pi}{10}$ этому промежутку, приведем концы промежутка к общему знаменателю 10: $\frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{15\pi}{10}$. Мы видим, что выполняется неравенство: $\frac{5\pi}{10} < \frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10} < \frac{15\pi}{10}$. Следовательно, оба аргумента находятся на промежутке убывания функции $y=\sin x$. Сравним сами аргументы: $\frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$. Для убывающей функции, чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции. Поэтому, $sin(\frac{7\pi}{10}) > sin(\frac{13\pi}{10})$.

Ответ: $sin(\frac{7\pi}{10}) > sin(\frac{13\pi}{10})$.

2) Для сравнения чисел $sin(\frac{13\pi}{7})$ и $sin(\frac{11\pi}{7})$ используем свойство периодичности функции синус: $\sin(\alpha) = \sin(\alpha - 2\pi)$. Приведем аргументы к более удобному для анализа промежутку: $sin(\frac{13\pi}{7}) = sin(\frac{13\pi}{7} - 2\pi) = sin(\frac{13\pi - 14\pi}{7}) = sin(-\frac{\pi}{7})$. $sin(\frac{11\pi}{7}) = sin(\frac{11\pi}{7} - 2\pi) = sin(\frac{11\pi - 14\pi}{7}) = sin(-\frac{3\pi}{7})$. Теперь задача сводится к сравнению $sin(-\frac{\pi}{7})$ и $sin(-\frac{3\pi}{7})$. Функция $y = \sin x$ является возрастающей на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Проверим, что наши новые аргументы принадлежат этому промежутку. Конец промежутка $-\frac{\pi}{2} = -\frac{3.5\pi}{7}$. Так как $-\frac{3.5\pi}{7} < -\frac{3\pi}{7} < -\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, оба аргумента принадлежат промежутку возрастания. Сравним аргументы: $-\frac{3\pi}{7} < -\frac{\pi}{7}$. Для возрастающей функции, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции. Следовательно, $sin(-\frac{3\pi}{7}) < sin(-\frac{\pi}{7})$, а значит $sin(\frac{11\pi}{7}) < sin(\frac{13\pi}{7})$.

Ответ: $sin(\frac{13\pi}{7}) > sin(\frac{11\pi}{7})$.

3) Для сравнения чисел $sin(-\frac{8\pi}{7})$ и $sin(-\frac{9\pi}{8})$ определим промежуток монотонности, содержащий оба аргумента. Функция $y = \sin x$ является убывающей на промежутке $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. Оценим значения аргументов: $-\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi$ и $-\frac{\pi}{2} = -0.5\pi$. $-\frac{8\pi}{7} \approx -1.14\pi$ и $-\frac{9\pi}{8} = -1.125\pi$. Оба значения находятся в интервале $[-1.5\pi, -0.5\pi]$, то есть на промежутке убывания функции. Теперь сравним аргументы. Приведем их к общему знаменателю 56: $-\frac{8\pi}{7} = -\frac{64\pi}{56}$ $-\frac{9\pi}{8} = -\frac{63\pi}{56}$ Поскольку $-64 < -63$, то $-\frac{64\pi}{56} < -\frac{63\pi}{56}$, а это значит, что $-\frac{8\pi}{7} < -\frac{9\pi}{8}$. Так как на этом промежутке функция $y=\sin x$ убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $sin(-\frac{8\pi}{7}) > sin(-\frac{9\pi}{8})$.

Ответ: $sin(-\frac{8\pi}{7}) > sin(-\frac{9\pi}{8})$.

4) Для сравнения чисел $sin(7)$ и $sin(6)$, где аргументы заданы в радианах, найдем промежуток монотонности для функции $y=\sin x$. Функция $y=\sin x$ является возрастающей на промежутке $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$: $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14159}{2} \approx 4.712$. $\frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \cdot 3.14159}{2} \approx 7.854$. Промежуток возрастания aproximadamente $[4.712, 7.854]$. Аргументы 6 и 7 оба принадлежат этому промежутку, поскольку $4.712 < 6 < 7 < 7.854$. Сравним аргументы: $6 < 7$. Поскольку на данном промежутке функция $y=\sin x$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $sin(6) < sin(7)$.

Ответ: $sin(7) > sin(6)$.

58. Найти все принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$ корни уравнения:

1) $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Требуется найти корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

Общая формула для корней уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, общее решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Для отбора корней на заданном отрезке удобнее представить решение в виде двух серий:

Первая серия (соответствует углам в I четверти): $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия (соответствует углам во II четверти): $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь произведем отбор корней для каждой серии, перебирая целые значения $k$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$, так как $\frac{7\pi}{3} < 3\pi$.

При $k=2$, $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$. Корень не входит в отрезок, так как $\frac{13\pi}{3} > 3\pi$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$.

При $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$, так как $\frac{8\pi}{3} < 3\pi$.

При $k=2$, $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$. Корень не входит в отрезок, так как $\frac{14\pi}{3} > 3\pi$.

Отрицательные значения $k$ дадут отрицательные корни, которые не входят в заданный отрезок.

Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

2) Требуется найти корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Представим решение в виде двух серий:

$x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Выполним отбор корней для каждой серии на отрезке $[0; 3\pi]$.

Для серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку, так как $\frac{9\pi}{4} < 3\pi$.

При $k=2$, $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.

Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку, так как $\frac{11\pi}{4} < 3\pi$.

При $k=2$, $x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.

Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

3) Требуется найти корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Представим решение в виде двух серий:

$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ (соответствует углам в IV четверти).

$x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$ (соответствует углам в III четверти).

Выполним отбор корней для каждой серии на отрезке $[0; 3\pi]$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку (отрицательный).

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{15\pi}{4} > 3\pi$.

Для серии $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{13\pi}{4} > 3\pi$.

Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

4) Требуется найти корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Представим решение в виде двух серий:

$x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ (углы в IV четверти).

$x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ (углы в III четверти).

Выполним отбор корней для каждой серии на отрезке $[0; 3\pi]$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{11\pi}{3} > 3\pi$.

Для серии $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{4\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{10\pi}{3} > 3\pi$.

Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

59. Найти все принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$ решения неравенства:

1) $\sin x > \frac{1}{2}$;

2) $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin x \ge -\frac{1}{2}$;

4) $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Решим неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Сначала найдем решения уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ корнями являются $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$ выполняется для углов, ордината которых на единичной окружности больше $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной между точками $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.
Общее решение неравенства имеет вид $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число.
Теперь выберем решения, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=0$ получаем интервал $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$. Этот интервал полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
При $k=1$ получаем интервал $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi, \frac{5\pi}{6} + 2\pi)$, то есть $x \in (\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6})$. Поскольку $3\pi = \frac{18\pi}{6}$, этот интервал также полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
При других целых значениях $k$ решения не попадают в заданный отрезок.
Объединяя найденные решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6})$.

2) Решим неравенство $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Сначала найдем решения уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ корнями являются $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Неравенство $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для углов, которые не удовлетворяют строгому неравенству $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решением неравенства $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $[0, 2\pi]$ является интервал $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.
Следовательно, на отрезке $[0, 2\pi]$ решение неравенства $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ есть объединение отрезков $[0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, 2\pi]$.
Теперь рассмотрим отрезок $[2\pi, 3\pi]$. Корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на этом отрезке: $x_3 = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ и $x_4 = 2\pi + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$.
Решением неравенства $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[2\pi, 3\pi]$ будет $[2\pi, \frac{9\pi}{4}] \cup [\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.
Объединим все найденные решения: $[0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, 2\pi] \cup [2\pi, \frac{9\pi}{4}] \cup [\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.
Заметим, что отрезки $[\frac{3\pi}{4}, 2\pi]$ и $[2\pi, \frac{9\pi}{4}]$ можно объединить в один отрезок $[\frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]$.
Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}] \cup [\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.

3) Решим неравенство $\sin x \ge -\frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Сначала найдем решения уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ корнями являются $x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Неравенство $\sin x \ge -\frac{1}{2}$ выполняется для углов, ордината которых на единичной окружности не меньше $-\frac{1}{2}$.
На отрезке $[0, 2\pi]$ это соответствует объединению отрезков $[0, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$.
Теперь рассмотрим отрезок $[2\pi, 3\pi]$. На этом отрезке $\sin x$ принимает значения от $\sin(2\pi)=0$ до $\sin(2.5\pi)=1$ и обратно до $\sin(3\pi)=0$. Таким образом, на всем отрезке $[2\pi, 3\pi]$ выполняется условие $\sin x \ge 0$.
Поскольку любое неотрицательное число больше $-\frac{1}{2}$, неравенство $\sin x \ge -\frac{1}{2}$ верно для всех $x \in [2\pi, 3\pi]$.
Объединим все найденные решения: $[0, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 2\pi] \cup [2\pi, 3\pi]$.
Отрезки $[\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$ и $[2\pi, 3\pi]$ можно объединить в один отрезок $[\frac{11\pi}{6}, 3\pi]$.
Ответ: $x \in [0, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 3\pi]$.

4) Решим неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Сначала найдем решения уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ корнями являются $x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
Неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для углов, ордината которых на единичной окружности строго меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной строго между точками $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.
На отрезке $[0, 2\pi]$ решением является интервал $(\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$.
Теперь рассмотрим отрезок $[2\pi, 3\pi]$. На этом отрезке, как было показано в предыдущем пункте, $\sin x \ge 0$.
Неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ не может выполняться, так как неотрицательное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, на отрезке $[2\pi, 3\pi]$ решений нет.
Таким образом, все решения находятся в интервале, найденном на первом обороте.
Ответ: $x \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$.

60. Построив график функции $y = f(x)$, найти:

а) область определения функции;

б) множество значений;

в) промежутки убывания:

1) $f(x)= \begin{cases} \sin x, \text{ если } 0 \le x \le 3\pi, \\ \sqrt{-x}, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

2) $f(x)= \begin{cases} \sin x, \text{ если } \frac{\pi}{4} \le x \le 2\pi, \\ \cos x, \text{ если } -2\pi \le x < \frac{\pi}{4}. \end{cases}$

1) Для функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } 0 \le x \le 3\pi \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Сначала построим график функции.
Для $x < 0$ график представляет собой ветвь параболы $y^2 = -x$, расположенную в левой верхней четверти ($y \ge 0$). Эта функция убывает на всей своей области определения. Например, $f(-1) = 1$, $f(-4) = 2$. При $x \to 0^-$, $f(x) \to 0$.
Для $0 \le x \le 3\pi$ график представляет собой полторы волны синусоиды $y = \sin x$. График начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимумов в точках $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и $(\frac{5\pi}{2}, 1)$ и минимума в точке $(\frac{3\pi}{2}, -1)$. Заканчивается график в точке $(3\pi, 0)$.
График функции непрерывен в точке $x=0$, так как $\lim_{x \to 0^-} \sqrt{-x} = 0$ и $f(0) = \sin 0 = 0$.

а) область определения функции

Функция определена для всех $x < 0$ и для $x$ в промежутке $[0, 3\pi]$. Объединяя эти два множества, получаем область определения $D(f) = (-\infty, 0) \cup [0, 3\pi] = (-\infty, 3\pi]$.
Ответ: $D(f) = (-\infty, 3\pi]$.

б) множество значений

На промежутке $x < 0$ функция $y = \sqrt{-x}$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.
На промежутке $[0, 3\pi]$ функция $y = \sin x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$.
Объединяя эти два множества значений, получаем множество значений всей функции: $E(f) = (0, +\infty) \cup [-1, 1] = [-1, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.

в) промежутки убывания

Анализируя график, находим промежутки, на которых функция убывает.
1. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = \sqrt{-x}$ является убывающей. Поскольку $f(0)=0$ и для любого $x<0$ значение $f(x)=\sqrt{-x}>0$, то функция убывает на всем луче $(-\infty, 0]$.
2. На промежутке $[0, 3\pi]$ функция $y = \sin x$ убывает там, где ее производная $(\sin x)' = \cos x \le 0$. Это происходит на отрезках $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ и $[\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$.
Следовательно, функция убывает на следующих промежутках: $(-\infty, 0]$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ и $[\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$.
Ответ: $(-\infty, 0]$; $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$; $[\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$.

2) Для функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } \frac{\pi}{4} \le x \le 2\pi \\ \cos x, & \text{если } -2\pi \le x < \frac{\pi}{4} \end{cases}$

Сначала построим график функции.
Для $-2\pi \le x < \frac{\pi}{4}$ график совпадает с графиком функции $y = \cos x$. Он начинается в точке $(-2\pi, 1)$, проходит через минимум в $(-\pi, -1)$ и максимум в $(0, 1)$, и стремится к точке $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ при $x \to (\frac{\pi}{4})^-$.
Для $\frac{\pi}{4} \le x \le 2\pi$ график совпадает с графиком функции $y = \sin x$. Он начинается в точке $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, проходит через максимум в $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и минимум в $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, и заканчивается в точке $(2\pi, 0)$.
Функция непрерывна в точке $x=\frac{\pi}{4}$, так как $\lim_{x \to (\pi/4)^-} \cos x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) область определения функции

Функция определена на промежутке $[-2\pi, \frac{\pi}{4})$ и на промежутке $[\frac{\pi}{4}, 2\pi]$. Объединяя эти два множества, получаем область определения $D(f) = [-2\pi, \frac{\pi}{4}) \cup [\frac{\pi}{4}, 2\pi] = [-2\pi, 2\pi]$.
Ответ: $D(f) = [-2\pi, 2\pi]$.

б) множество значений

На промежутке $[-2\pi, \frac{\pi}{4})$ функция $y = \cos x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$.
На промежутке $[\frac{\pi}{4}, 2\pi]$ функция $y = \sin x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$.
Множество значений всей функции является объединением этих множеств, то есть $E(f) = [-1, 1] \cup [-1, 1] = [-1, 1]$.
Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

в) промежутки убывания

Анализируя график, находим промежутки, на которых функция убывает.
1. На промежутке $[-2\pi, \frac{\pi}{4})$ функция $y = \cos x$ убывает, когда ее производная $(\cos x)' = -\sin x \le 0$, то есть когда $\sin x \ge 0$. В пределах данного интервала это происходит на отрезках $[-2\pi, -\pi]$ и $[0, \frac{\pi}{4})$.
2. На промежутке $[\frac{\pi}{4}, 2\pi]$ функция $y = \sin x$ убывает, когда ее производная $(\sin x)' = \cos x \le 0$. В пределах данного интервала это происходит на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
В точке $x=\frac{\pi}{4}$ функция переходит от убывания к возрастанию, достигая локального минимума. Следовательно, отрезок убывания $[0, \frac{\pi}{4})$ можно замкнуть, включив точку $x=\frac{\pi}{4}$.
Объединяя результаты, получаем следующие промежутки убывания: $[-2\pi, -\pi]$, $[0, \frac{\pi}{4}]$ и $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
Ответ: $[-2\pi, -\pi]$; $[0, \frac{\pi}{4}]$; $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

61. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа:

1) $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{\pi}{9} $;

2) $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ \cos \frac{9\pi}{8} $;

3) $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \cos \frac{5\pi}{14} $;

4) $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \cos \frac{3\pi}{10} $.

1) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{\pi}{9} $.

Воспользуемся формулой приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $.

Выразим косинус через синус:

$ \cos \frac{\pi}{9} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{9\pi - 2\pi}{18}) = \sin \frac{7\pi}{18} $.

Теперь задача сводится к сравнению $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \sin \frac{7\pi}{18} $.

Сравним аргументы: $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{18} $. Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18} $.

Так как $ 2\pi < 7\pi $, то $ \frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18} $, следовательно, $ \frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{18} $ принадлежат первой четверти, то есть интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ возрастает. Поэтому, большему значению аргумента соответствует большее значение синуса.

Из $ \frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18} $ следует, что $ \sin \frac{\pi}{9} < \sin \frac{7\pi}{18} $.

Значит, $ \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} $.

Ответ: $ \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} $.

2) Сравнить числа $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ \cos \frac{9\pi}{8} $.

Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos \frac{9\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{9\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi - 9\pi}{8}) = \sin(-\frac{5\pi}{8}) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), то $ \sin(-\frac{5\pi}{8}) = -\sin \frac{5\pi}{8} $.

Теперь нужно сравнить $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ -\sin \frac{5\pi}{8} $.

Преобразуем $ \sin \frac{9\pi}{8} $ с помощью формулы приведения:

$ \sin \frac{9\pi}{8} = \sin(\pi + \frac{\pi}{8}) = -\sin \frac{\pi}{8} $.

Задача сводится к сравнению $ -\sin \frac{\pi}{8} $ и $ -\sin \frac{5\pi}{8} $. Это эквивалентно сравнению $ \sin \frac{5\pi}{8} $ и $ \sin \frac{\pi}{8} $ (при умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный).

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{5\pi}{8} $. Очевидно, $ \frac{\pi}{8} < \frac{5\pi}{8} $.

Угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в первой четверти. Угол $ \frac{5\pi}{8} $ находится во второй четверти. Чтобы сравнить их синусы, приведем $ \sin \frac{5\pi}{8} $ к углу в первой четверти:

$ \sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8} $.

Теперь сравниваем $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \sin \frac{3\pi}{8} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{3\pi}{8} $ находятся в интервале $ (0; \frac{\pi}{2}) $, где функция $ y = \sin x $ возрастает. Так как $ \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} $, то $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{3\pi}{8} $.

Следовательно, $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8} $.

Умножив обе части на -1, получаем $ -\sin \frac{\pi}{8} > -\sin \frac{5\pi}{8} $.

Таким образом, $ \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} $.

Ответ: $ \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} $.

3) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \cos \frac{5\pi}{14} $.

Выразим косинус через синус по формуле приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos \frac{5\pi}{14} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \sin(\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \sin \frac{2\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7} $.

Сравниваем $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \sin \frac{\pi}{7} $.

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{7} $. Так как $ 5 < 7 $, то $ \frac{1}{5} > \frac{1}{7} $, а значит $ \frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{7} $ принадлежат интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $, на котором функция $ y = \sin x $ возрастает.

Поскольку $ \frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7} $, то $ \sin \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{7} $.

Следовательно, $ \sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14} $.

Ответ: $ \sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14} $.

4) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \cos \frac{3\pi}{10} $.

Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos \frac{3\pi}{10} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \sin(\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \sin \frac{2\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5} $.

Теперь необходимо сравнить $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \sin \frac{\pi}{5} $.

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{5} $. Так как $ 8 > 5 $, то $ \frac{1}{8} < \frac{1}{5} $, а значит $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{5} $ находятся в первой четверти (интервал $ (0; \frac{\pi}{2}) $), где функция $ y = \sin x $ является возрастающей.

Из того, что $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5} $, следует, что $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{\pi}{5} $.

Таким образом, $ \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10} $.

Ответ: $ \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10} $.

62. Найти все принадлежащие промежутку $ - \frac{3\pi}{2} \leq x \leq \pi $ корни уравнения:

1) $ \sin 2x = -\frac{1}{2}; $

2) $ \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}. $

1) Решим уравнение $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ на промежутке $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$.

Сначала найдем общее решение уравнения. Общее решение для уравнения $\sin(y) = a$ можно представить в виде совокупности двух серий решений: $y = \arcsin(a) + 2\pi n$ и $y = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем две серии решений для $2x$:

$2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $2x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Разделив каждое уравнение на 2, получим общие решения для $x$:

1. $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
2. $x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\frac{3\pi}{2}, \pi]$.

Для первой серии решений $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{12} + \pi n \le \pi$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le -\frac{1}{12} + n \le 1$.

Прибавим ко всем частям $\frac{1}{12}$: $-\frac{3}{2} + \frac{1}{12} \le n \le 1 + \frac{1}{12}$, что дает $-\frac{17}{12} \le n \le \frac{13}{12}$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.

При $n = -1: x = -\frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{13\pi}{12}$.
При $n = 0: x = -\frac{\pi}{12}$.
При $n = 1: x = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$.

Для второй серии решений $x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{7\pi}{12} + \pi n \le \pi$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le \frac{7}{12} + n \le 1$.

Вычтем из всех частей $\frac{7}{12}$: $-\frac{3}{2} - \frac{7}{12} \le n \le 1 - \frac{7}{12}$, что дает $-\frac{25}{12} \le n \le \frac{5}{12}$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -2, -1, 0$.

При $n = -2: x = \frac{7\pi}{12} - 2\pi = -\frac{17\pi}{12}$.
При $n = -1: x = \frac{7\pi}{12} - \pi = -\frac{5\pi}{12}$.
При $n = 0: x = \frac{7\pi}{12}$.

Объединяя все найденные корни, получаем искомые значения.

Ответ: $-\frac{17\pi}{12}, -\frac{13\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}$.

2) Решим уравнение $\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, общие решения для $3x$ имеют вид:

$3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $3x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, находим общие решения для $x$:

1. $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$
2. $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\frac{3\pi}{2}, \pi]$.

Для первой серии решений $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi$

Разделим на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le \frac{1}{9} + \frac{2n}{3} \le 1$.

Вычтем $\frac{1}{9}$: $-\frac{3}{2} - \frac{1}{9} \le \frac{2n}{3} \le 1 - \frac{1}{9}$, что дает $-\frac{29}{18} \le \frac{2n}{3} \le \frac{8}{9}$.

Умножим на $\frac{3}{2}$: $-\frac{29}{12} \le n \le \frac{4}{3}$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -2, -1, 0, 1$.

При $n = -2: x = \frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = -\frac{11\pi}{9}$.
При $n = -1: x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{9}$.
При $n = 0: x = \frac{\pi}{9}$.
При $n = 1: x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9}$.

Для второй серии решений $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi$.

Разделим на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le \frac{2}{9} + \frac{2n}{3} \le 1$.

Вычтем $\frac{2}{9}$: $-\frac{3}{2} - \frac{2}{9} \le \frac{2n}{3} \le 1 - \frac{2}{9}$, что дает $-\frac{31}{18} \le \frac{2n}{3} \le \frac{7}{9}$.

Умножим на $\frac{3}{2}$: $-\frac{31}{12} \le n \le \frac{7}{6}$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -2, -1, 0, 1$.

При $n = -2: x = \frac{2\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = -\frac{10\pi}{9}$.
При $n = -1: x = \frac{2\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{4\pi}{9}$.
При $n = 0: x = \frac{2\pi}{9}$.
При $n = 1: x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{9}$.

Объединяя все найденные корни и располагая их в порядке возрастания, получаем.

Ответ: $-\frac{11\pi}{9}, -\frac{10\pi}{9}, -\frac{5\pi}{9}, -\frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{8\pi}{9}$.